#noindex
// Excerpt from: 머신러닝을 위한 수학과 응용 (2020), 삼성SDS 문기효

역사

선형대수학의 중요한 이론인 [[VG:고유값,eigenvalue]]과 [[VG:고유벡터,eigenvector]]의 개념은,
역사적으로 [[이차형식,quadratic_form]]과 [[미분방정식,differential_equation]] 이론으로부터 발전했다.
18세기에 [[Leonhard_Euler]]가 [[강체,rigid_body]]의 [[VG:회전운동,rotational_motion]]에 대해 연구하면서 [[주축,principal_axis]]의 중요성에 대해 발견.
그리고 [[Joseph-Louis_Lagrange]]가 이 주축이 관성행렬(Inertia Matrix ''...관성텐서 말하는건가? Google:관성행렬 Google:inertia.matrix'')의 [[VG:고유벡터,eigenvector]]라는 것을 알게 되었다.
그리고 [[Joseph_Fourier]], [[Pierre-Simon_Laplace]], [[Charles_Hermite]], [[Joseph_Liouville]] 등과 같은 유명한 수학자들에 의해 [[VG:특성방정식,characteristic_equation]]이 개발되고 '''고유값과 고유벡터'''의 여러 가지 성질들이 밝혀지게 되었다.
전통적으로 이러한 개념은 수학적으로 미분방정식을 풀기 위해 도입되었지만, 최근에는 인공지능을 포함한 머신러닝에서 사용되고 있어 그 중요도가 더 높아졌다고 할 수 있다.

고유값과 고유벡터란 // 이하 원문 그대로

[[VG:정사각행렬,square_matrix]]인 [[VG:선형변환,linear_transformation]] A 에 의한 변환 결과가 자기 자신의 상수배가 되는 0이 아닌 벡터를 '''고유벡터'''라 하고 이 상수배 λ의 값을 '''고유값'''이라고 합니다. 이를 행렬과 벡터를 사용하여 나타내면 다음 식과 같습니다.
 Av=λv           ....(1)
(...기하학적으로는 벡터가 방향이 변하지 않고 크기가 변한다는 얘기...)
이제 '''고유값과 고유벡터'''를 찾아봅시다. 식 (1)의 우변을 좌변으로 옮겨 변형하면 다음과 같습니다.
 (A-λI)v=0           ....(2)
여기서 I는 단위행렬(Identity Matrix)입니다. 식 (2)에서 A-λI의 [[VG:역행렬,inverse_matrix]]이 존재한다고 가정하면 어떻게 될까요? 식 (3)을 보면,
 v=(A-λI)^^-1^^0=0            ....(3)
이 되므로 v=0 즉 '''고유벡터'''가 항상 0이 되어버립니다. 우리는 0이 아닌 벡터를 찾으려고 하고 이렇게 하기 위해서는 A-λI의 역행렬이 존재하지 않아야 됩니다.
따라서 다음과 같은 조건을 만족시켜야 합니다.
 det(A-λI) = 0           ....(4)
식 (4)를 [[VG:특성방정식,characteristic_equation]]이라고 합니다.
식 (4)로부터 λ값을 계산할 수 있고 이 값을 '''고유값'''이라고 합니다.
'''고유값'''을 구한 후 이 값을 식 (2)에 대입하여 '''고유벡터'''를 구할 수 있습니다.
'''고유벡터'''는 A-λI의 [[VG:영공간,null_space]]에 있는 벡터이며 유일하지 않고 일반적으로 단위벡터화(‖v‖=1)하여 사용합니다.

아래 그림 2(원문링크참조)는 선형 변환을 보여주고 있으며, 선형 변환 후 붉은색 화살표는 방향이 변화하고 푸른색 화살표는 방향이 변화하지 않고 있습니다. 푸른색 화살표는 '''고유벡터'''라고 하며 크기가 변하지 않았기 때문에 '''고유값'''은 1이라고 할 수 있습니다. 붉은색 화살표는 방향이 변화하였기 때문에 '''고유벡터'''가 아닙니다.

// from https://www.samsungsds.com/kr/insights/mathematics_for_ML.html

----
[[VG:고유값,eigenvalue]]
[[VG:고유벡터,eigenvector]]
See also [[고유]]