Related:
 [[수렴,convergence]]
 [[발산,divergence]]
 [[판정법,test]]

Twin: [[VG:급수,series]]
https://simple.wikipedia.org/wiki/Series

MKL [[시리즈,series]] ? - yes. series is 시리즈 via https://kornorms.korean.go.kr/
=시리즈,series =,series 시리즈 series
{
[[급수,series]]가 아닌 다른 series에 대하여.

Sub:
[[시계열,time_series]]

MKL:
[[serial]] - 단어간의 정확한 관계 tbw { series serial  }
[[sequential]] / [[시퀀스,sequence]] - 뜻은 유사할텐데... 차이? (수학에서는 [[수열,sequence]]/[급수,series]]의 뜻으로 쓰고 있고, 단어 뜻.) WtEn:sequence WtEn:series { series sequence }

}

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[[TableOfContents]]

= 거듭제곱 급수, 멱급수, power series =
정의:
$x$ 에 대한 멱급수
 $\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots$
$x-a$ 의 거듭제곱급수, $x-a$ 의 멱급수, 중심이 $a$ 인 멱급수
 $\sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\cdots$

ex.
 $\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-2)^n}{n}$ 은 $x$ 가 어떤 값일 때 수렴하는가?
sol.
 $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(x-2)^{n+1}}{n+1}}{\frac{(x-2)^n}{n}}\right|$
 $=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\frac{|x-2|^{n+1}}{|x-2|^n}$
 $=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}|x-2|$
 $=|x-2|\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}$
 $=|x-2|$
따라서 비율판정법에 의해
 $|x-2|<1$ 이면 수렴,
 $|x-2|>1$ 이면 발산
 $|x-2|=1\Rightarrow$
  $x=1$ 일때 : $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$ 은 수렴 (교대급수판정법에 의해)
  $x=3$ 일 때: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n$ 은 발산
따라서
 $1\le x < 3$ 일때 주어진 급수는 수렴
 $x<1\text{ or }x\ge3$ 일때 주어진 급수는 발산
수렴구간은 $[1,3)$
수렴반지름 $R=1$

== 정리 ==
거듭제곱급수
 $\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n$
은 반드시 다음 3가지 중 하나만 성립한다.
 (i) $x=a$ 일 때만 수렴
 (ii) 모든 실수 $x$ 에서 수렴
 (iii) 적당한 양수 $R$ 이 존재하여
  $|x-a|<R$ 이면 수렴,
  $|x-a|>R$ 이면 발산.
  이때 $R$ 을 수렴반지름(radius of convergence) 또는 수렴반경이라 부른다.
  또한 거듭제곱급수가 수렴하는 구간을 수렴구간이라 부른다.

ex.
 $\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^{2n}}{2^n}$
의 수렴반지름과 수렴구간을 구하라.
sol.
 거듭제곱근 판정법을 쓰면
 $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{|x-1|^{2n}}{2^n}}$
 $=\lim_{n\to\infty}\frac{|x-1|^2}{2}$
 $=\frac{|x-1|^2}{2}<1$
$\Leftrightarrow (x-1)^2<2$
$\Leftrightarrow |x-1|<\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow 1-\sqrt{2}<x<1+\sqrt{2}$
따라서
$|x-1|<\sqrt{2}$ 이면 수렴,
$|x-1|>\sqrt{2}$ 이면 발산.
따라서
수렴반지름 $R=\sqrt{2}$

$x=1-\sqrt{2} \Rightarrow \sum\frac{(-\sqrt{2})^{2n}}{2^n}=\sum\frac{2^n}{2^n}=\sum_{n=0}^{\infty}1$ (발산)
$x=1+\sqrt{2} \Rightarrow \sum\frac{\sqrt{2}^{2n}}{2^n}=\sum\frac{2^n}{2^n}=\sum_{n=0}^{\infty}1$ (발산)
따라서 수렴구간은 $(1-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$

== 거듭제곱급수에 의한 함수 표현 ==
고딩때 알고있는것
 $a+ar+ar^2+\cdots=\frac{a}{1-r}\quad(|r|<1)$

ex.
 $\frac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$
 단 $(|x|<1)$

 $\frac1{1+x^2}=\frac1{1-(-x^2)}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots$
  $=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n}$
 단 $(|x|<1)$
  왜냐하면 $|-x^2|<1$
  $\Leftrightarrow |x^2|<1$
  $\Leftrightarrow |x|^2<1$
  $\Leftrightarrow |x|<1$

ex.
 $\frac{x^2}{x+3}=x^2\left(\frac1{3+x}\right)=\frac{x^2}{3}\left(\frac1{1+\frac{x}3}\right)=\frac{x^2}{3}\left(\frac1{1-\left(-\frac{x}3\right)}\right)$
 $=\frac{x^2}{3}\left(1-\frac{x}3+\frac{x^2}9-\frac{x^3}{27}+\cdots\right)$
 $=\frac{x^2}{3}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^n}{3^n}$
 $=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{n+2}}{3^{n+1}} \;\; (-3<x<3)$
  조건은 왜냐하면
  $\left|-\frac{x}3\right|<1$
  $\Leftrightarrow |x|<3$
  $\Leftrightarrow -3<x<3$

== 멱급수의 미적분 ==
정리:
 $f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n$ 의 수렴반지름이 $R$ 이면
 $f$ 는 $(a-R,a+R)$ 에서 미분 및 적분 가능하고,
 $\text{(i)  }f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n c_n (x-a)^{n-1}$
 $\text{(ii) }\int f(x) dx= c + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_n}{n+1}(x-a)^{n+1}$
 이며 (i),(ii)의 수렴반지름은 역시 $R$ 이다.

== ex. 1/(1-x)² ==
ex.
 $\frac1{(1-x)^2}$ 을 멱급수로 나타내라.
sol.
 $\frac1{1-x}=1+x+x^2+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\;(R=1)$
미분하면
 $\frac1{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+\cdots$
  $=\sum_{n=0}^{\infty}nx^{n-1}$
  $=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}$ (이게 더 옳다고..)
  $=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n$ (n제곱으로 표현, 이게 더 좋은 표현이라고..)

== ex. ln(1+x) ==
ex.
 $\ln(1+x)$ 의 멱급수표현을 구하라
sol.
 $\ln(1+x)=\int\frac1{1+x}dx\;(x>-1)$
 $=\int(1-x+x^2-x^3+\cdots)dx\;(-1<x<1)$
 $=c+x-\frac12x^2+\frac13x^3-\frac14x^4+\cdots\;(-1<x<1)$
 $=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}+c \;(-1<x<1)$
c를 결정하려면 수렴구간중 적당한 값을 대입해본다. 0을 대입하면
 $x=0\Rightarrow 0=\ln1=c$
따라서
 $\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n\;(-1<x<1)$

실제로 위의 식은 $x=1$ 일 때도 성립한다는 것이 알려져 있다. (아벨의 극한정리)
즉, $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+\cdots\;\;(-1<x\le 1)$

ex. $x=1:$
 $1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\ln 2$ (조화급수)

ex. $x=-\frac12:$
 $-\ln2=\ln\frac12=-\frac12-\frac12\cdot\frac1{2^2}-\frac13\cdot\frac1{2^3}-\frac14\cdot\frac1{2^4}{}-{}\cdots$
 $\ln2=\frac12+\frac12\cdot\frac1{2^2}+\frac13\cdot\frac1{2^3}+\cdots$
  $=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n2^n}$

== ex. arctan(x) ==
ex. $f(x)=\tan^{-1}x$ 의 멱급수 표현을 구하라.
sol.
 $f'(x)=\frac1{1+x^2}$ 이므로
 $\tan^{-1}x=f(x)=\int \frac{1}{1+x^{2}} dx$
 $=\int\left[\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n\right]dx\;(|x|<1)$
 $=\sum_{n=0}^\infty\int(-1)^n x^{2n} dx \;(|x|<1)$
 $=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}+C$
$x=0\Rightarrow 0=\tan^{-1}0=0+C$
therefore,
$\tan^{-1}x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}\;\;(-1<x<1)$
실제로는 $-1\le x\le 1$ 일 때 위의 식이 성립한다.
therefore,
$\tan^{-1}x=x-\frac{x^3}3+\frac{x^5}5-\frac{x^7}7+\cdots\;\;(-1\le x\le1)$

ex. $x=1\Rightarrow\frac{\pi}4=\tan^{-1}1=1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots$
 therefore, $\pi=4\left(1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots\right)$

see also [[VG:멱급수,power_series]]

= 테일러급수와 매클로린급수 =
만일 $f$ 가 거듭제곱급수로 표현된다면, 즉
 $f(x)=c_0+c_1(x-1)+c_2(x-a)^2+c_3(x-a)^3+c_4(x-a)^4+\cdots\;\;(|x-a|<R)$
이라면 $x=a$ 대입하여
 $f(a)=c_0$
미분하여
 $f'(x)=c_1+2c_2(x-a)+3c_3(x-a)^2+4c_4(x-a)^3+\cdots$
 $f'(a)=c_1$
또 미분하여
 $f''(x)=2c_2+3\cdot 2c_3(x-a)+4\cdot 3c_4(x-a)^2+\cdots$
 $f''(a)=2c_2$
또 미분하여
 $f'''(x)=3\cdot 2 c_3+4\cdot 3\cdot 2 c_4 (x-a)+\cdots$
 $f'''(a)=3\cdot 2 c_3$
therefore
 $c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$

정리:
 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n,\;\;\;|x-a|<R$
이라 하면
 $c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$
이다.

참고:
 함수 $f$ 가 무한번 미분가능하고,
 $a$ 에 관한 거듭제곱급수로 표현된다면,
 그 계수는 유일하게 결정된다.

정의:
 $f$ 의 거듭제곱 급수 표현이 존재할 경우
 > $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
 > $=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$
 를 $a$ 에서의 $f$ 의 '''테일러 급수(Taylor series)'''라 한다.

 특히 $a=0$ 일 때
 > $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
 > $=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\cdots$
 를 $f$ 의 '''매클로린 급수(Maclaurin series)'''라 한다.

ex.
 $f(x)=e^x$ 의 Maclaurin series와 수렴반지름을 구하라.
sol.
 $f'(x)=e^x,\;f''(x)=e^x,\;\cdots$
 $f(0)=f'(0)=f''(0)=\cdots=1$
 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$
이고 비율판정법을 쓰면 수렴반지름 R은 ∞이다.

참고:
 $f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}}&(x\ne0)\\0&(x=0)\end{cases}$
$\Rightarrow f^{(n)}(0)=0\;\;(n=0,1,2,\cdots)$
따라서 $f$ 의 매클로린 급수는 영함수(0함수)이며 이는 $f$ 와 다르다.

정의: 함수 $f$ 에 대해
> $T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$
를 $a$ 에서 $f$ 의 $n$ 차 테일러다항식이라 부른다.
$R_n(x)=f(x)-T_n(x)$ 를 테일러급수의 나머지항(remainder)이라 부른다.

정리:
 $|x-a|<R$ 일 때
 $f(x)=T_n(x)+R_n(x)$ 이고
 $\lim_{n\to\infty}R_n(x)=0$ 이면
 $f(x)=\lim_{n\to\infty}T_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ 이다.

정리(테일러의 공식)
 $f$ 의 $(n+1)$ 계 도함수가 $a$ 를 포함하는 적당한 구간 $I$ 에서 존재할 때, $I$ 에 속한 $x$ 에 대하여 $x$ 와 $a$ 사이에 적당한 실수 $z$ 가 존재하여
 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$
이다.

참고:
(i) 위의 식을 다시 쓰면
$f(x)=\underbrace{f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n}_{T_n(x)}+\underbrace{\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}}_{R_n(x)}$
(ii)
$n=0$ 이면,
$f(x)=f(a)+f'(z)(x-a)$ 즉
$f(x)-f(a)=f'(z)(x-a)$ (평균값 정리를 일반화한 거라고 볼 수 있다)

정리: $\forall x\in\mathbb{R},$
 $\lim_{n\to\infty}\frac{x^n}{n!}=0$
pf.
 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ 은 임의의 $x$ 에 대해 수렴한다. (<= 비율판정법)
 따라서 0이다.

예:
 $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\;\;(x\in\mathbb{R})$
pf.
 $x=0$ 일 때 : 자명하게 위의 식이 성립.
 $x\ne0$ 일 때 : 테일러 공식에서 주어진 $x(\ne0)$ 에 대하여 
 $-|x|\lt z\lt |x|$ 인 $z$ 가 존재하여
 $R_n(x)=\frac{e^z}{(n+1)!}x^{n+1}$ 이다.
∴
 $|R_n(x)|\le \frac{e^{ | x | }}{(n+1)!}|x|^{n+1}\to0$ ( $n\to\infty$ 일때 )
∴ $\lim_{n\to\infty}|R_n(x)|=0$
∴ $\lim_{n\to\infty}R_n(x)=0$
따라서
$f(x)=e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}(x\in\mathbb{R})$

$e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!}=1+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots$

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\;(x\in\mathbb{R})$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\;(x\in\mathbb{R})$

$\tan^{-1}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots\;(-1\le x\le1)$

$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots\;(-1<x\le1)$

(이것들은 암기)

= 이항급수 =
MV TO [[이항급수,binomial_series]] { 내용있음 at [[급수,series#s-3]]. Twins: https://ko.wikipedia.org/wiki/이항_급수 }

$(1+x)^2=1+2x+x^2\\(1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3$

$k$ 가 자연수일 때
> $(1+x)^k=\sum_{n=0}^k\binom{k}{n}x^n$
$\binom{k}{0}=1,$
$\binom{k}{n}=\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!}$
 $(n=1,2,3,\cdots,k)$

$k$ 가 실수일 때
$f(x)=(1+x)^k,\;f(0)=1$
$f'(x)=k(1+x)^{k-1},\;f'(0)=k$
$f{ } ' '(x)=k(k-1)(1+x)^{k-2},\;f{ } ' '(0)=k(k-1)$
 $\vdots$
$f^{(n)}(x)=k(k-1)(k-2)\cdots(k-n+1)(1+x)^{k-n},$
$f^{(n)}(0)=k(k-1)(k-2)\cdots(k-n+1)$

따라서 $f(x)=(1+x)^k$ 의 매클로린 급수는
> $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{k(k-1)(k-2)\cdots(k-n+1)}{n!}x^n$


참고
(i) 비율판정법을 사용하면 수렴반지름 $R=1$
따라서
 $|x|<1\Rightarrow$ 수렴
 $|x|>1\Rightarrow$ 발산
 $|x|=1\Rightarrow$ $k$ 값에 따라 수렴여부가 달라짐
(ii)
 $\lim_{n\to\infty}R_n(x)=0$

정리(이항급수)
$k$ 가 임의의 실수이고 $|x|<1$ 이면
> $(1+x)^k=1+kx+\frac{k(k-1)}{2!}x^2+\frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3+\cdots$
>  $=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n}x^n$
여기서
$\binom{k}{0}=1,\;\binom{k}{n}=\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!}\;\;\;\;(n=1,2,3,\cdots)$

참고:
(i) k가 자연수이면 n>k일 때
 $\binom{k}{n}=0$ 이다.
ex.
 $\binom{2}{3}=\frac{2\cdot1\cdot0}{3!}=0$
 $\binom{2}{4}=\frac{2\cdot1\cdot0\cdot(-1)}{4!}=0$
(ii) 예:
 $\binom{3}{2}=\frac{3\cdot2}{2!}=3(={}_3\textrm{C}_2)$
 $\binom{\frac{3}{2}}{3}=\frac{\frac32\cdot\frac12\cdot\left(-\frac12\right)}{3!}=-\frac1{16}$
 $\binom{-1}{3}=\frac{(-1)(-2)(-3)}{3!}=-1$

ex.
 $f(x)=\sqrt{2+x}$ 의 매클로린급수와 수렴반지름을 구하라.
sol.
 $\sqrt{2+x}=\sqrt{2}\sqrt{1+\frac{x}2}=\sqrt{2}\left(1+\frac{x}2\right)^{\frac12}$
 $\binom{1/2}{0}=1,$
 $\binom{1/2}{1}=1/2,$
 $\binom{1/2}{n}=\frac{(\frac12)(-\frac12)(-\frac32)\cdots(\frac12-n+1)}{n!}$
오른쪽 위에 식은 $\left(\frac12-n+1=\frac32-n=\frac{3-2n}{2}=-\frac{2n-3}{2}\right)$
 $=(-1)^{n-1}\frac{(\frac12)(\frac12)(\frac32)(\frac52)\cdots(\frac{2n-3}{2})}{n!}$
 $=(-1)^{n-1}\frac{1\cdot3\cdot 5\cdots (2n-3)}{n!2^n}\;\;(n\ge2)$
∴ 매클로린급수는
 $\sqrt{2}\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\frac12}{n}\left(\frac{x}{2}\right)^n$
 $=\sqrt{2}\left[\binom{1/2}{0}+\binom{1/2}{1}\frac{x}2+\sum_{n=2}^{\infty}\binom{1/2}{n}\left(\frac{x}{2}\right)^n\right]$
 $=\sqrt{2}\left[1+\frac{x}{4}+\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-3)}{n!2^n}\cdot\frac{x^n}{2^n}\right]$
 $=\sqrt{2}\left[1+\frac{x}{4}+\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-3)}{n!2^{2n}}x^n\right]$
이며, 이 급수는 $|\frac{x}2|<1$ 즉 $|x|<2$ 일 때 수렴.
따라서 수렴반지름 R=2이다.

참고: 점점점 $(\cdots)$ 표현을 피하는 법??
 $1\cdot3\cdot5\cdots(2n-3)$
 $=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdots(2n-3)(2n-2)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n-2)}$
 $=\frac{(2n-2)!}{2^{n-1}\cdot1\cdot2\cdot3\cdots(n-1)}$
 $=\frac{(2n-2)!}{2^{n-1}(n-1)!}$
그리하여 위 문제의 매클로린급수를 다시 표현하면
 $\sqrt{2}\left(1+\frac{x}4+\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(2n-2)!}{n!2^{3n-1}(n-1)!}x^n\right)$
 $=\sqrt{2}\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(2n-2)!}{(n-1)!n!2^{3n-1}}x^n\right)$

== 극한계산에의 응용 ==
예:
 $\lim_{x\to 0}\frac{\tan^{-1}2x-2x}{x^3}$
 $=\lim_{x\to 0}\frac{\left(2x-\frac{(2x)^3}{3}+\frac{(2x)^5}{5}-\frac{(2x)^7}{7}+\cdots\right)-2x}{x^3}$
 $=\lim_{x\to 0}\left(-\frac83+\frac{32}5x^2-\frac{128}7x^4+\cdots\right)$
 $=-\frac83$

ex.
 $e^x\cos x$ 의 매클로린급수를 삼차항까지 구하라.
sol.
 $e^x\cos x=\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\right)\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\right)$
 $=1+x+\left(-\frac12+\frac12\right)x^2+\left(-\frac12+\frac16\right)x^3+\cdots$
 $=1+x-\frac13x^3+\cdots$

참고: 복소수지수
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\;(x\in\mathbb{R})$
$e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\cdots$
$=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}+\cdots$
실수부와 허수부를 따로 묶으면
$=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots\right)+i\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots\right)$
$=\cos x+i\sin x$

> $e^{ix}=\cos x+i\sin x\;\;(x\in\mathbb{R})$
로 정의한다.

ex. $e^{2+3i}=e^2e^{3i}=e^2(\cos 3+i\sin 3)$
ex. $e^{\pi i}=\cos\pi+i\sin\pi=-1$

= Laurent series =
[[로랑_급수,Laurent_series]] =로랑_급수,Laurent_series =,Laurent_series 로랑_급수 Laurent_series
{

WtEn:Laurent_series

https://ko.wikipedia.org/wiki/로랑_급수
https://en.wikipedia.org/wiki/Laurent_series
....
Ndict:"로랑 급수"
Bing:"로랑 급수"
"로랑 급수"

}