간단한 예
$\displaystyle \frac{c}{(s+a)(s+b)}=\frac{k_1}{s+a}+\frac{k_2}{s+b}$
위 식을 만족하는 $\displaystyle k_1,k_2$ 를 찾아보라
(c를 찾는다면 우변을 통분하여 연립한다)
(좌변을 우변으로 만드는 게 부분분수분해이다. - 그럼 부분분수분해 반대는 통분? chk)
이하 N은 분자numerator, D는 분모denominator 에서 온 듯 함.
When all roots(근) of denominator(분모) are different,
$\displaystyle F(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{N(s)}{\prod_{i=1}^n(s-p_i)}=\frac{k_1}{s-p_1}+\frac{k_2}{s-p_2}+\cdots+\frac{k_n}{s-p_n}$
$\displaystyle \left.k_j=(s-p_j)F(s)\right|_{s=p_j},\;\;\;\; j=1,2,\cdots,n$
When there exists any multiple roots(중근) in the denominator,
(이 경우엔 p
2가 r번 연속되는 중근)
$\displaystyle F(s)=\frac{N(s)}{(s-p_1)(s-p_2)^r}=\frac{k_{1}}{s-p_1}+\frac{k_{21}}{s-p_2}+\frac{k_{22}}{(s-p_2)^2}+\cdots+\frac{k_{2r}}{(s-p_2)^r}$
where,
$\displaystyle k_{2j}=\left.\frac1{(r-j)!}\frac{d^{r-j}}{ds^{r-j}}\left[(s-p_2)^rF(s)\right]\right|_{s=p_2}$
(즉 미분을 사용한다.)