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신호 및 시스템
한밭대학교 김광수
http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1389213

<<TableOfContents>>

= 1. 강의소개 및 기초수학 요약 =
== 10m 적분공식들 ==

쉬움:
$\int e^x dx=e^x+C$
$\int\cos xdx=\sin x+C$
$\int\sin xdx=-\cos x+C$

공부할것: pf??

$\int xe^xdx=e^x(x-1)+C$
$\int e^{ax}\cos(bx)dx = \frac{e^{ax}(a \cos (bx)+b\sin(bx))}{a^2+b^2}+C$
$\int e^{ax}\sin(bx)dx = \frac{e^{ax}(a \sin(bx) - b\cos(bx))}{a^2+b^2}+C$
$\int x\cos x dx = x\sin x + \cos x + C$
$\int x\sin xdx=-x\cos x+\sin x+C$

== 11m 삼각함수 공식들 review ==

쉬움:
$\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm \cos A\sin B$
$\cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp\sin A\sin B$
$\sin 2A=2\sin A\cos A$
$\cos 2A=\cos^2A-\sin^2A=2\cos^2A-1=1-2\sin^2A$


공부할것:
$\sin^2\left(\frac{A}{2}\right)=\frac{1-\cos A}{2}$
$\cos^2\left(\frac{A}{2}\right)=\frac{1+\cos A}{2}$
$\sin A\cos B=\frac12\left[\sin(A+B)+\sin(A-B)\right]$
$\cos A\sin B=\frac12\left[\cos(A+B)+\cos(A-B)\right]$
$\sin A\sin B=-\frac12\left[\cos(A+B)-\cos(A-B)\right]$

== 12m Geometric Series ==
참고:
[[VG:기하급수,geometric_series]]
[[VG:기하수열,geometric_sequence]](=등비수열)

$\sum_{k=0}^{n}r^k=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$
등비수열의 합

위에서 $n$ 이 무한대로 가게 되면, $r$ 의 범위에 따라,
$\sum_{k=0}^{\infty}r^k=\frac{1}{1-r};\quad\quad\quad |r|<1$
무한등비급수의 합

그리고 첫항부터가 아니고 $n$ 항부터 더한다면?
$\sum_{k=n}^{\infty}r^k=\frac{r^n}{1-r};\quad\quad\quad |r|<1$
(두번째 식) - (첫번째 식)

그리고 $n_1$ 항부터 $n_2$ 항까지 더한다면?
$\sum_{k=n_1}^{n_2}r^k=\frac{r^{n_1}-r^{n_2+1}}{1-r}$
QQQ [[부분합,partial_sum]] [[VG:부분합,partial_sum]]?

$\sum_{k=0}^{\infty}kr^k=\frac{r}{(1-r)^2};\quad\quad\quad r<1$
앞에 k가 붙었죠. 일반항을 식으로 나타낸 다음 k를 곱한 식도 만들어서 변변 빼게 되면 얻을 수 있다. 해보시기 부탁합니다.

== 15m 복소수 review ==
The set of complex numbers:
 $\mathbb{C}=\left\lbrace z\middle| z=x+jy, \; x,y\in\mathbb{R},\; j=\sqrt{-1}\right\rbrace$

복소수 z의 표현
 Cartesian form
  $z=x+jy$
 Polar form
  $z=re^{j\theta}=r\angle\theta$

$r=\sqrt{x^2+y^2}$
$\theta=\tan^{-1}(y/x)$

$x=r\cos\theta$
$y=r\sin\theta$

$j^2=-1$
$j^3=-j$
$j^4=1$
$j^5=j$
$j^6=-1$ ...

$\frac1j=-j$

$r_1e^{j\theta_1}r_2e^{j\theta_2}=r_1r_2e^{j(\theta_1+\theta_2)}$
$\frac{r_1e^{j\theta_1}}{r_2e^{j\theta_2}}=\frac{r_1}{r_2}e^{j(\theta_1-\theta_2)}$

== 22m Complex conjugate ==
$z=x+jy=re^{j\theta}$
$\Rightarrow$
$z^*=x-jy=re^{-j\theta}$

즉 허수부의 부호만 달라지게 되면 x축 대칭이 되므로 각의 부호가 반대로.

From this definition,
$zz^*=r^2$
$z+z^*=2\mathrm{Re}(z)$ - 허수부 없어지고 실수부만 두배가 되니까.
$z-z^*=2j\mathrm{Im}(z)$ - 실수부 없어지고 허수부만 두배가 되니까.
$(z_1+z_2)^*=z_1^*+z_2^*$
$(az_1z_2)^*=az_1^*z_2^*,\;\;\;a\in\mathbb{R}$
$\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^*=\frac{z_1^*}{z_2^*}$

== 25m Euler's relation - 삼각함수와 복소지수의 관계 ==
$e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta$

이 관계는 다음 series expansions에서 유도 가능하다
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$
$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$
$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

Also,
$\cos\theta=\frac{\exp(j\theta)+\exp(-j\theta)}{2}$
$\sin\theta=\frac{\exp(j\theta)-\exp(-j\theta)}{2j}$

== 27m Partial Fraction Decomposition 부분분수분해 ==

간단한 예
 $\frac{c}{(s+a)(s+b)}=\frac{k_1}{s+a}+\frac{k_2}{s+b}$
 위 식을 만족하는 $k_1,k_2$ 를 찾아보라
 (c를 찾는다면 우변을 통분하여 연립한다)
 (좌변을 우변으로 만드는 게 부분분수분해이다. - 그럼 부분분수분해 반대는 통분? chk)

이하 N은 분자numerator, D는 분모denominator 에서 온 듯 함.

When all roots(근) of denominator(분모) are different,
 $F(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{N(s)}{\prod_{i=1}^n(s-p_i)}=\frac{k_1}{s-p_1}+\frac{k_2}{s-p_2}+\cdots+\frac{k_n}{s-p_n}$
 $\left.k_j=(s-p_j)F(s)\right|_{s=p_j},\;\;\;\; j=1,2,\cdots,n$

When there exists any multiple roots(중근) in the denominator,
(이 경우엔 p,,2,,가 r번 연속되는 중근)
 $F(s)=\frac{N(s)}{(s-p_1)(s-p_2)^r}=\frac{k_{1}}{s-p_1}+\frac{k_{21}}{s-p_2}+\frac{k_{22}}{(s-p_2)^2}+\cdots+\frac{k_{2r}}{(s-p_2)^r}$
where,
 $k_{2j}=\left.\frac1{(r-j)!}\frac{d^{r-j}}{ds^{r-j}}\left[(s-p_2)^rF(s)\right]\right|_{s=p_2}$
(즉 미분을 사용한다.)

Linked from [[VG:분수,fraction]]

== 35m Matrix ==
(3x3행렬 가정)

Transpose matrix [[VG:전치행렬,transpose_matrix]]
 A vs A^^T^^ (생략)
Symmetric matrix [[VG:대칭행렬,symmetric_matrix]]
 A=A^^T^^
Identity matrix 항등행렬 = [[VG:단위행렬,unit_matrix]]
 AI=IA=A
Diagonal matrix [[VG:대각행렬,diagonal_matrix]]
 대각성분 외 성분이 모두 0
Determinant [[VG:행렬식,determinant]]
 $|A|=a_{i1}c_{i1}+a_{i2}c_{i2}+a_{i3}c_{i3}$
where $c_{ij}$ is the cofactor of $a_{ij}$ ([[VG:여인수,cofactor]])
 $c_{ij}=(-1)^{i+j}m_{ij}$
where $m_{ij}$ is the determinant of $(n-1)\times(n-1)$ matrix whose $i$ -th row and $j-$ th column are deleted.

Inverse matrix [[VG:역행렬,inverse_matrix]]
 A^^-1^^A=AA^^-1^^=I
 $A^{-1}=\frac{\operatorname{adj}A}{|A|}$ ([[VG:딸림행렬,adjoint_matrix]])
where adjA is an adjoint matrix which is defined as
 $\operatorname{adj}A=\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}^T$

The characteristics of inverse matrix and transpose matrix
(역행렬과 전치행렬의 성질)
 (AB)^^T^^ = B^^T^^ A^^T^^
 (AB)^^-1^^ = B^^-1^^ A^^-1^^
 (A^^-1^^)^^T^^ = (A^^T^^)^^-1^^

Eigenvalue and Eigenvector - [[VG:고유값,eigenvalue]] [[VG:고유벡터,eigenvector]]
(A는 정사각행렬)
 '''Ax'''=λ'''x''', '''x'''≠'''0''' ⇒ |'''A'''-λ'''I'''|=0

Similarity transformation 상사변환. 상사=비슷. See [[VG:변환,transformation]] 
 ∃P s.t. B = P^^-1^^ A P
주어진 행렬 A가 있을 때 좌우에 각각 P^^-1^^, P를 곱해서 비슷한 B로 변환하는 것.

Diagonalization
 D = P^^-1^^ A P
where P and D are given by
 $D=\begin{bmatrix}\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3\end{bmatrix},$
 $P=[x_1\;x_2\;x_3],$
 $Ax_i=\lambda_ix_i$

= 2. 개요 및 연속-시간 신호 1 =
살펴볼 것
 1. 모델링
 2. 연속시간 물리적 시스템의 예
 3. 이산시간 물리적 시스템의 예

== 모델링 ==
모델이란 실제 객체/상황을 추상화한 것 또는 표현한 것
A model is an abstraction of reality or a representation of a real object or situation.

모델의 분류
 * physical models
 * schematic models (그림으로 표현하는)
 * mathematical models (수식으로 표현하는) ← 이 코스에서 다룰 것

In this course, models refer to mathematical representations for physical systems and signals

예: [[VG:RLC회로,RLC_circuit]]
https://i.imgur.com/ygAxllB.png

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연속 vs 이산 신호 ''그래프는 쉬우므로 생략''
continuous-time signal
 $f(t),\;t\in\mathbb{R}$
discrete-time signal
 $f(nT),\;n\in\mathbb{Z}$

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물리적 시스템 분석 과정
1. 모델(방정식)을 얻는다
2. 방정식을 푼다 - The equations are solved for typical excitation functions
3. This solution is compared with the response(출력, 응답) of the physical system with the same excitation
4. 두 응답/반응(responses)이 거의 같다면(approximately equal), 이 모델은 분석과 디자인에 쓸 수 있다. 그렇지 않다면, 모델을 개선해서(improve) 위 단계를 반복한다.

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실제 시스템을 분석할 때, 수학은 모델에 적용한다. 물리적 시스템에 적용하는 게 아니다..
분석 결과(analysis results)의 유용성(usefulness)은 모델의 정확도(accuracy)에 달렸다.
''얼핏 보면 당연한 얘기 같은데 중요해서 써 놓은 건가?''

= 2. 개요 및 연속-시간 신호 2 =
= 2. 개요 및 연속-시간 신호 3 =