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<<TableOfContents>>

= 1. 강의소개 및 기초수학 요약 =
== 10m 적분공식들 ==

쉬움:
$\int e^x dx=e^x+C$
$\int\cos xdx=\sin x+C$
$\int\sin xdx=-\cos x+C$

공부할것: pf??

$\int xe^xdx=e^x(x-1)+C$
$\int e^{ax}\cos(bx)dx = \frac{e^{ax}(a \cos (bx)+b\sin(bx))}{a^2+b^2}+C$
$\int e^{ax}\sin(bx)dx = \frac{e^{ax}(a \sin(bx) - b\cos(bx))}{a^2+b^2}+C$
$\int x\cos x dx = x\sin x + \cos x + C$
$\int x\sin xdx=-x\cos x+\sin x+C$

== 11m 삼각함수 공식들 review ==

쉬움:
$\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm \cos A\sin B$
$\cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp\sin A\sin B$
$\sin 2A=2\sin A\cos A$
$\cos 2A=\cos^2A-\sin^2A=2\cos^2A-1=1-2\sin^2A$


공부할것:
$\sin^2\left(\frac{A}{2}\right)=\frac{1-\cos A}{2}$
$\cos^2\left(\frac{A}{2}\right)=\frac{1+\cos A}{2}$
$\sin A\cos B=\frac12\left[\sin(A+B)+\sin(A-B)\right]$
$\cos A\sin B=\frac12\left[\cos(A+B)+\cos(A-B)\right]$
$\sin A\sin B=-\frac12\left[\cos(A+B)-\cos(A-B)\right]$

== 12m Geometric Series ==
참고:
[[VG:기하급수,geometric_series]]
[[VG:기하수열,geometric_sequence]](=등비수열)

$\sum_{k=0}^{n}r^k=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$
등비수열의 합

$\sum_{k=0}^{\infty}r^k=\frac{1}{1-r};\quad\quad\quad |r|<1$
무한등비급수의 합

$\sum_{k=n}^{\infty}r^k=\frac{r^n}{1-r};\quad\quad\quad |r|<1$
두번째 식 - 첫번째 식

$\sum_{k=n_1}^{n_2}r^k=\frac{r^{n_1}-r^{n_2+1}}{1-r}$
부분합?

$\sum_{k=0}^{\infty}kr^k=\frac{r}{(1-r)^2};\quad\quad\quad r<1$
앞에 k가 붙었죠. 일반항을 식으로 나타낸 다음 k를 곱한 식도 만들어서 변변 빼게 되면 얻을 수 있다. 해보시기 부탁합니다.

== 15m 복소수 review ==
The set of complex numbers:
 $\mathbb{C}=\left\lbrace z\middle| z=x+jy, \; x,y\in\mathbb{R},\; j=\sqrt{-1}\right\rbrace$

복소수 z의 표현
 Cartesian form
  $z=x+jy$
 Polar form
  $z=re^{j\theta}=r\angle\theta$

$r=\sqrt{x^2+y^2}$
$\theta=\tan^{-1}(y/x)$

$x=r\cos\theta$
$y=r\sin\theta$

$j^2=-1$
$j^3=-j$
$j^4=1$
$j^5=j$
$j^6=-1$ ...

$\frac1j=-j$

$r_1e^{j\theta_1}r_2e^{j\theta_2}=r_1r_2e^{j(\theta_1+\theta_2)}$
$\frac{r_1e^{j\theta_1}}{r_2e^{j\theta_2}}=\frac{r_1}{r_2}e^{j(\theta_1-\theta_2)}$

== 22m Complex conjugate ==
$z=x+jy=re^{j\theta}$
$\Rightarrow$
$z^*=x-jy=re^{-j\theta}$

즉 허수부의 부호만 달라지게 되면 x축 대칭이 되므로 각의 부호가 반대로.

From this definition,
$zz^*=r^2$
$z+z^*=2\mathrm{Re}(z)$ - 허수부 없어지고 실수부만 두배가 되니까.
$z-z^*=2j\mathrm{Im}(z)$ - 실수부 없어지고 허수부만 두배가 되니까.
$(z_1+z_2)^*=z_1^*+z_2^*$
$(az_1z_2)^*=az_1^*z_2^*,\;\;\;a\in\mathbb{R}$
$\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^*=\frac{z_1^*}{z_2^*}$

== 25m Euler's relation - 삼각함수와 복소지수의 관계 ==
$e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta$

이 관계는 다음 series expansions에서 유도 가능하다
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$
$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$
$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

Also,
$\cos\theta=\frac{\exp(j\theta)+\exp(-j\theta)}{2}$
$\sin\theta=\frac{\exp(j\theta)-\exp(-j\theta)}{2j}$

== 27m Partial Fraction Decomposition 부분분수분해 ==

간단한 예
 $\frac{c}{(s+a)(s+b)}=\frac{k_1}{s+a}+\frac{k_2}{s+b}$
 위 식을 만족하는 $k_1,k_2$ 를 찾아보라
 (c를 찾는다면 우변을 통분하여 연립한다)
 (좌변을 우변으로 만드는 게 부분분수분해이다. - 그럼 부분분수분해 반대는 통분? chk)

이하 N은 분자numerator, D는 분모denominator 에서 온 듯 함.

When all roots(근) of denominator(분모) are different,
 $F(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{N(s)}{\prod_{i=1}^n(s-p_i)}=\frac{k_1}{s-p_1}+\frac{k_2}{s-p_2}+\cdots+\frac{k_n}{s-p_n}$
 $\left.k_j=(s-p_j)F(s)\right|_{s=p_j},\;\;\;\; j=1,2,\cdots,n$

When there exists any multiple roots(중근) in the denominator,
(이 경우엔 p,,2,,가 r번 연속되는 중근)
 $F(s)=\frac{N(s)}{(s-p_1)(s-p_2)^r}=\frac{k_{1}}{s-p_1}+\frac{k_{21}}{s-p_2}+\frac{k_{22}}{(s-p_2)^2}+\cdots+\frac{k_{2r}}{(s-p_2)^r}$
where,
 $k_{2j}=\left.\frac1{(r-j)!}\frac{d^{r-j}}{ds^{r-j}}\left[(s-p_2)^rF(s)\right]\right|_{s=p_2}$
(즉 미분을 사용한다.)

Linked from [[VG:분수,fraction]]

== 35m Matrix ==
Transpose matrix [[VG:전치행렬,transpose_matrix]]
 A vs A^^T^^ (생략)
Symmetric matrix [[VG:대칭행렬,symmetric_matrix]]
 A=A^^T^^
Identity matrix 항등행렬 = [[VG:단위행렬,unit_matrix]]
 AI=IA=A
Diagonal matrix [[VG:대각행렬,diagonal_matrix]]
 대각성분 외 성분이 모두 0
Determinant [[VG:행렬식,determinant]]
(3x3행렬 가정)
 $|A|=a_{i1}c_{i1}+a_{i2}c_{i2}+a_{i3}c_{i3}$
where $c_{ij}$ is the cofactor of $a_{ij}$ ([[VG:여인수,cofactor]])
 $c_{ij}=(-1)^{i+j}m_{ij}$
where $m_{ij}$ is the determinant of $(n-1)\times(n-1)$ matrix whose $i$ -th row and $j-$ th column are deleted.

Inverse matrix [[VG:역행렬,inverse_matrix]]
 A^^-1^^A=AA^^-1^^=I
 $A^{-1}=\frac{\operatorname{adj}A}{|A|}$ ([[VG:딸림행렬,adjoint_matrix]])