1. from qstudy ¶
미분방정식
$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
에서 $\displaystyle M(x,y)$ 와 $\displaystyle N(x,y)$ 가 같은 차수인 동차함수,homogeneous_function일 때 동차미분방정식이라 한다.동차미분방정식은 치환에 의해 항상 변수분리형미분방정식으로 변형된다.
치환방법I
$\displaystyle y=ux$ 라 두자. 그러면
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}\cdot x+u\cdot 1$
$\displaystyle dy=u\cdot dx+x\cdot du$
$\displaystyle y=ux$ 라 두자. 그러면
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}\cdot x+u\cdot 1$
$\displaystyle dy=u\cdot dx+x\cdot du$
위에 $\displaystyle M,N$ 이 $\displaystyle n$ 차 동차함수라면
$\displaystyle M(x,y)=x^n M\left(1,\frac{y}{x}\right)=x^n M(1,u)$
$\displaystyle N(x,y)=x^n N\left(1,\frac{y}{x}\right)=x^n N(1,u)$ 이고 원래 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
$\displaystyle M(x,y)=x^n M\left(1,\frac{y}{x}\right)=x^n M(1,u)$
$\displaystyle N(x,y)=x^n N\left(1,\frac{y}{x}\right)=x^n N(1,u)$ 이고 원래 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
$\displaystyle x^n M(1,u) dx + x^n N(1,u) \left( u\cdot dx + x \cdot du \right) = 0$
$\displaystyle M(1,u) dx + N(1,u) \left( u\cdot dx + x \cdot du \right) = 0$
$\displaystyle \left[ M(1,u)+u\cdot N(1,u) \right] dx + x\cdot N(1,u)\cdot du =0$
$\displaystyle \frac{1}{x}dx+\frac{N(1,u)}{M(1,u)+u\cdot N(1,u)}du=0$
$\displaystyle M(1,u) dx + N(1,u) \left( u\cdot dx + x \cdot du \right) = 0$
$\displaystyle \left[ M(1,u)+u\cdot N(1,u) \right] dx + x\cdot N(1,u)\cdot du =0$
$\displaystyle \frac{1}{x}dx+\frac{N(1,u)}{M(1,u)+u\cdot N(1,u)}du=0$
치환방법II
$\displaystyle x=vy$ 라 두자.
$\displaystyle x=vy$ 라 두자.
$\displaystyle dx=v\cdot dy+y\cdot dv$
그렇게 해서 같은 방식으로
$\displaystyle \frac{1}{y}dy+\frac{N(v,1)}{M(v,1)+v\cdot N(v,1)}dv=0$
으로 만들 수 있다.
그렇게 해서 같은 방식으로
$\displaystyle \frac{1}{y}dy+\frac{N(v,1)}{M(v,1)+v\cdot N(v,1)}dv=0$
으로 만들 수 있다.
2. tmp 1 ¶
QQQ 1 : 선형미방linear_DE에서만 homogeneous_DE 가 정의되는건지 아님 다른 경우가 있는지?
TBD : pagename을
비동차방정식의 해집합,solution_set은 동차방정식의 해집합을 반드시 포함한다.
그리고 homogeneous에는 다른 뜻도 있는데, 동차함수,homogeneous_function ... local에 작성중.
// Srch VG: "homogeneous_function"을(를) 전체 찾아보기:![[http]](/wiki/imgs/http.png)
http://tomoyo.ivyro.net/123/wiki.php/asdf?action=fullsearch&value=homogeneous_function&context=20&case=1
ko 비동차/비제차 중에? 그리고
en nonhomogeneous 로 할지 inhomogeneous 로 할지..
equation nonhomogeneous vs inhomogeneous
중요 정리:en nonhomogeneous 로 할지 inhomogeneous 로 할지..
equation nonhomogeneous vs inhomogeneous비동차방정식의 해집합,solution_set은 동차방정식의 해집합을 반드시 포함한다.
그리고 homogeneous에는 다른 뜻도 있는데, 동차함수,homogeneous_function ... local에 작성중.
// Srch VG: "homogeneous_function"을(를) 전체 찾아보기:
http://tomoyo.ivyro.net/123/wiki.php/asdf?action=fullsearch&value=homogeneous_function&context=20&case=14. 이하 예전에있던내용 ¶
미분방정식
동차미분방정식은 적당한 치환에 의해 항상 변수분리형 미방으로 변형된다.
$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
에서 $\displaystyle M(x,y)$ 와 $\displaystyle N(x,y)$ 가 같은 차수인 동차함수일 때, 동차미분방정식이라 한다.동차미분방정식은 적당한 치환에 의해 항상 변수분리형 미방으로 변형된다.
5. 치환방법 1 ¶
$\displaystyle y=ux$
$\displaystyle u=\frac{y}{x}$
dy에 곱해지는 N이 간단한 경우.$\displaystyle u=\frac{y}{x}$
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}\cdot x+u\cdot 1$
$\displaystyle dy=u\cdot dx+x\cdot du$
이걸 일일히 유도하기 보다 암기하는 게 좋다$\displaystyle dy=u\cdot dx+x\cdot du$
M이 x에 대한 n차라 가정하고, $\displaystyle x^n$ 을 묶어낸다.
$\displaystyle M(x,y)=x^n M(1,\frac{y}{x})=x^n M(1,u)$
$\displaystyle N(x,y)=x^n N(1,\frac{y}{x})=x^n N(1,u)$
이것을 원래 방정식에 대입.$\displaystyle N(x,y)=x^n N(1,\frac{y}{x})=x^n N(1,u)$
$\displaystyle x^n M(1,u)dx+ x^nN(1,u)(u\cdot dx+x\cdot du)=0$
$\displaystyle x^n$ 으로 나누면$\displaystyle M(1,u)dx+N(1,u)(udx+xdu)=0$
$\displaystyle [M(1,u)+uN(1,u)]dx+xN(1,u)du=0$
x로나누면....$\displaystyle [M(1,u)+uN(1,u)]dx+xN(1,u)du=0$
$\displaystyle \frac1x dx [M(1,u)+uN(1,u)] + N(1,u)du = 0$
$\displaystyle [...]$ 로 나누면...$\displaystyle \frac1x dx + \frac{N(1,u)}{M(1,u)+uN(1,u)}du=0$
이렇게 변수분리가 된다.![[https]](/wiki/imgs/https.png)