미분방정식
$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
에서
$\displaystyle M(x,y)$ 와
$\displaystyle N(x,y)$ 가 같은 차수인
동차함수,homogeneous_function일 때
동차미분방정식이라 한다.
동차미분방정식은 치환에 의해 항상 변수분리형미분방정식으로 변형된다.
치환방법I
$\displaystyle y=ux$ 라 두자. 그러면
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}\cdot x+u\cdot 1$
$\displaystyle dy=u\cdot dx+x\cdot du$
위에 $\displaystyle M,N$ 이 $\displaystyle n$ 차 동차함수라면
$\displaystyle M(x,y)=x^n M\left(1,\frac{y}{x}\right)=x^n M(1,u)$
$\displaystyle N(x,y)=x^n N\left(1,\frac{y}{x}\right)=x^n N(1,u)$ 이고 원래 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
$\displaystyle x^n M(1,u) dx + x^n N(1,u) \left( u\cdot dx + x \cdot du \right) = 0$
$\displaystyle M(1,u) dx + N(1,u) \left( u\cdot dx + x \cdot du \right) = 0$
$\displaystyle \left[ M(1,u)+u\cdot N(1,u) \right] dx + x\cdot N(1,u)\cdot du =0$
$\displaystyle \frac{1}{x}dx+\frac{N(1,u)}{M(1,u)+u\cdot N(1,u)}du=0$
치환방법II
$\displaystyle x=vy$ 라 두자.
$\displaystyle dx=v\cdot dy+y\cdot dv$
그렇게 해서 같은 방식으로
$\displaystyle \frac{1}{y}dy+\frac{N(v,1)}{M(v,1)+v\cdot N(v,1)}dv=0$
으로 만들 수 있다.