''동차함수(see [[VG:함수,function#s-42]])에서 계속됨''

미분방정식
 $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
에서 $M(x,y)$ 와 $N(x,y)$ 가 같은 차수인 동차함수일 때, '''동차미분방정식'''이라 한다.
'''동차미분방정식'''은 적당한 치환에 의해 항상 변수분리형 미방으로 변형된다.

= 치환방법 1 =
 $y=ux$
 $u=\frac{y}{x}$
''dy에 곱해지는 N이 간단한 경우.''
 $\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}\cdot x+u\cdot 1$
 $dy=u\cdot dx+x\cdot du$
''이걸 일일히 유도하기 보다 암기하는 게 좋다''

M이 x에 대한 n차라 가정하고, $x^n$ 을 묶어낸다.
 $M(x,y)=x^n M(1,\frac{y}{x})=x^n M(1,u)$
 $N(x,y)=x^n N(1,\frac{y}{x})=x^n N(1,u)$
이것을 원래 방정식에 대입.
 $x^n M(1,u)dx+ x^nN(1,u)(u\cdot dx+x\cdot du)=0$
$x^n$ 으로 나누면
 $M(1,u)dx+N(1,u)(udx+xdu)=0$
 $[M(1,u)+uN(1,u)]dx+xN(1,u)du=0$
x로나누면....
 $\frac1x dx [M(1,u)+uN(1,u)] + N(1,u)du = 0$
$[...]$ 로 나누면...
 $\frac1x dx + \frac{N(1,u)}{M(1,u)+uN(1,u)}du=0$
이렇게 변수분리가 된다.

 
= 치환방법 2 =
 $x=vy$
 $v=\frac{x}{y}$
''dx에 곱해지는 M이 간단한 경우.''

참고한 곳: [[https://www.youtube.com/watch?v=_ooqEWQKMjc 16분~]]


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Up: [[미분방정식,differential_equation]]