미분방정식을 대수방정식으로. ([[미분방정식,differential_equation]]을 대수[[방정식,equation]]([[대수방정식,algebraic_equation]])으로.) cursive L: 𝓛 좋은 점 불연속함수를 자연스럽게 다룰 수 있다 ---- [[TableOfContents]] = 정의 = $t\ge0$ 에서 졍의된 함수 $f(t)$ 에 대해 이상적분 $\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt=\lim_{b\to\infty}\int_0^be^{-st}f(t)dt$ 가 수렴할 때 그 극한을 $f(t)$ 의 '''라플라스 변환'''이라 하고 $F(s)=\mathcal{L}\left\lbrace f(t)\right\rbrace=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt$ 라 쓴다 ---- 함수 $f(t)$ 의 정의역이 $[0,\infty)$ 이고 여기서 piecewise continuous 라고 하자. (연속인데 완벽한 연속일 필요는 없고, 몇 군데에서 끊어져도 됨) > $\mathcal{L}\{f(t)\}(s):=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)dt$ 을 $f(t)$ 의 라플라스 변환이라고 한다. (Laplace transform of $f(t)$ ) 이것은 $s$ 에 대한 함수이다. (존재할 경우) 예) $\mathcal{L}\{1\}(s)=\int_0^{\infty}e^{-st}\cdot1dt$ ( $s\le0$ 일 때는 정의 안 됨 ) $=\left[-\frac1s e^{-st}\right]_0^{\infty}$ $=\lim_{a\to\infty}\left[-\frac1s e^{-st}\right]_0^a$ $=\lim_{a\to\infty}\left(-\frac1s e^{-sa}+\frac1s\right)$ $=\frac1s$ 예) $\mathcal{L}\{t\}(s)=\int_0^{\infty}e^{-st}tdt$ 이것을 부분적분하면, $=\left[-\frac1se^{-st}\cdot t\right]_0^{\infty}-\int\nolimits_0^{\infty}\left(-\frac1se^{-st}\right)\cdot1dt$ $s>0$ 이므로, $=(0-0)+\frac1s\int\nolimits_0^{\infty}e^{-st}dt$ $=\frac1{s^2}$ ........이하 $\int_0^{\infty}$ 의 아래끝 위끝 생략......... 예) $\mathcal{L}\{e^{-3t}\}(s)=\int e^{-st}e^{-3t}dt$ $=\int e^{-(s+3)t}dt$ s>-3이므로 $=\frac1{s+3}$ 따라서 지수함수를 넣으면 유리함수가 나온다. $\mathcal{L}\{e^{-at}\}=\frac1{s+a}\quad(s>-a)$ 예) $\mathcal{L}\{\sin2t\}=\int e^{-st}\sin2tdt$ 부분적분하면 $=\left[-\frac1se^{-st}\sin2t\right]_0^{\infty}-\int\left(-\frac1se^{-st}\cdot2\cos2t\right)dt$ $=0+\frac2s\int e^{-st}\cos 2t dt$ $=\frac2s\cdot\mathcal{L}\{\cos 2t\}$ $=\frac2s\left[\left[-\frac1se^{-st}\cos2t\right]_0^{\infty}-\int(-\frac1s e^{-st})(-2\cdot\sin 2t)dt\right]$ $=\frac2s\left[\left(0-(-\frac1s)\right)-\frac2s\int_0^{\infty}e^{-st}\sin 2tdt\right]$ 이렇게 원래 구하고자 하던 $\mathcal{L}\{\sin2t\}$ 꼴이 나옴 그러므로 정리하면 $\mathcal{L}\lbrace\sin 2t\rbrace=\frac2{s^2}-\frac4{s^2}\cdot\mathcal{L}\left\lbrace\sin 2t\right\rbrace$ $(1+\frac4{s^2})\mathcal{L}\{\sin2t\}=\frac2{s^2}$ $\mathcal{L}\{\sin2t\}=\frac{\frac{2}{s^2}}{1+\frac{4}{s^2}}=\frac2{s^2+4}\quad (s>0)$ $\mathcal{L}\{\cos2t\}=\frac{s}{2}\cdot\mathcal{L}\{\sin2t\}=\frac{s}{s^2+4}\quad (s>0)$ = 선형성 = $\mathcal{L}\{3t-5\sin2t\}$ $=3\mathcal{L}\{t\}-5\mathcal{L}\{\sin 2t\}$ $=3\cdot\frac1{s^2}-5\cdot\frac2{s^2+4}$ = 기본적인 것 몇가지... = $\mathcal{L}\left\lbrace 1 \right\rbrace=\frac1s$ $\mathcal{L}\left\lbrace t \right\rbrace=\frac1{s^2}=\frac{1!}{s^2}$ $\mathcal{L}\left\lbrace t^2 \right\rbrace=\frac2{s^3}=\frac{2!}{s^3}$ $\mathcal{L}\left\lbrace t^3 \right\rbrace=\frac6{s^4}=\frac{3!}{s^4}$ $\vdots$ $\mathcal{L}\left\lbrace t^n \right\rbrace=\frac{n!}{s^{n+1}}$ $\mathcal{L}\left\lbrace \sin kt \right\rbrace=\frac{k}{s^2+k^2}$ $\mathcal{L}\left\lbrace \cos kt \right\rbrace=\frac{s}{s^2+k^2}$ $\mathcal{L}\left\lbrace \sinh kt \right\rbrace=\frac{k}{s^2-k^2}$ $\mathcal{L}\left\lbrace \cosh kt \right\rbrace=\frac{s}{s^2-k^2}$ = 표: Transform of Some Basic Functions = ||x ||𝓛{x} ||정의되는 경우 || ||$1$ ||$\frac1s$ ||(s>0) || ||$t^n$ ||$\frac{n!}{s^{n+1}}\;\;n=1,2,3,\cdots$ ||(s>0) || ||$e^{at}$ ||$\frac1{s-a}$ ||(s>a) || ||$\sin kt$ ||$\frac{k}{s^2+k^2}$ ||(s>0) || ||$\cos kt$ ||$\frac{s}{s^2+k^2}$ ||(s>0) || ||$\sinh kt$ ||$\frac{k}{s^2-k^2}$ ||(s>0) || ||$\cosh kt$ ||$\frac{s}{s^2-k^2}$ ||(s>0) || 참고로 𝓛{1/t}는 존재하지 않는다. (s≤0일 때도, s>0일 때도 ∞로 발산) 라플라스변환의 약점(?). = 역라플라스변환 Inverse Laplace Transform = (동영상 - 역라플라스 변환, 도함수의 라플라스 변환) $\left{f(t)\right} \overset{\longrightarrow^{\mathcal{L}}}{\longleftarrow_{\mathcal{L}^{-1}}} \left{F(s)\right}$ $\mathcal{L}^{-1}\left{\frac1s\right}=1?$ $\mathcal{L}^{-1}\left{\frac1{s^2}\right}=t?$ $\mathcal{L}^{-1}\{\cdots\}$ 이 유일한가? 즉 $\mathcal{L}$ 이 단사인가? 답은 yes & no. 연속함수 중에서 고르면 유일하다. ---- $\mathcal{L}^{-1}\left{\frac1s\right}=1$ $\mathcal{L}^{-1}\left{\frac1{s^{n+1}}\right}=\frac1{n!}t^n \;\;\;n=1,2,\cdots$ $\mathcal{L}^{-1}\left{\frac1{s-a}\right}=e^{at}$ $\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{k}{s^2+k^2}\right}=\sin kt$ $\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{s}{s^2+k^2}\right}=\cos kt$ $\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{k}{s^2-k^2}\right}=\sinh kt$ $\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{s}{s^2-k^2}\right}=\cosh kt$ sk 아니고 ks순이다.. 예 $\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{(s-1)(s+2)(s+4)}\right}$ ? $\frac{1}{(s-1)(s+2)(s+4)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+4}$ 미정계수법을 쓰면 $A=\frac1{15},B=-\frac16,C=\frac1{10}$ $=\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{15}\cdot\frac1{s-1}-\frac16\cdot\frac1{s+2}+\frac1{10}\cdot\frac1{s+4}\right}$ 선형성을 쓰면 $=\frac1{15}\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s-1}\right}-\frac16\mathcal{L}^{-1}\left{\frac1{s+2}\right}+\frac1{10}\mathcal{L}^{-1}\left{\frac1{s+4}\right}$ $=\frac1{15}e^{t}-\frac16e^{-2t}+\frac1{10}e^{-4t}$ = Laplace Transform of Derivatives = $f(t) {\mathcal{L}\atop\longrightarrow} F(s)$ ↓미분 $f'(t) {\mathcal{L}\atop\longrightarrow} s\cdot F(s)-f(0)$ $\mathcal{L}\{f'(t)\}=\int_0^{\infty}e^{-st}f'(t)dt$ $=\left[e^{-st}f(t)\right]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}(-s)e^{-st}\cdot f(t)dt$ $=(0-f(0))+s\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt$ $=-f(0)+s\cdot F(s)$ i.e. $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$ 일 때, > $\mathcal{L}\{f'(t)\}(s)=s\cdot F(s)-f(0)$ 여러번 미분한 것은? $\mathcal{L}\{f''(t)\}=s\cdot\mathcal{L}\{f'(t)\}-f'(0)$ $=s\cdot(s\cdot F(s)-f(0))-f'(0)$ $=s^2\cdot F(s)-f(0)\cdot s-f'(0)$ 정리 $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$ 일 때, > $\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}=s^n\cdot F(s)-f(0)\cdot s^{n-1}-f'(0)\cdot s^{n-2}-(\cdots)-f^{(n-1)}(0)$ 가정: $s>0,\;f,f',f'',\cdots,f^{(n-1)}:$ subexponential 예) $\mathcal{L}\{\cos kt\}=s\cdot\mathcal{L}\{\frac1{k}\sin kt\}-0$ $=\frac{s}{k}\cdot\mathcal{L}\{\sin kt\}$ $=\frac{s}{k}\cdot\frac{k}{s^2+k^2}$ $=\frac{s}{s^2+k^2}$ = First Translation Theorem = (from http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1189624 제1, 2 평행이동 정리) $a\in\mathbb{R},$ $\mathcal{L}\left{f(t)\right}=F(s)$ $\Rightarrow\;\mathcal{L}\left{e^{at}f(t)\right}=F(s-a)$ = Inverse Form of the First Translation Theorem = $\mathcal{L}^{-1}\left\lbrace F(s)\right\rbrace=f(t)$ $\Rightarrow\;\mathcal{L}^{-1}\left\lbrace F(s-a)\right\rbrace=e^{at}f(t)$ = 라플라스 변환의 극점과 영점 = pagename? [[극점,pole]] [[영점,zero]]? = References = Notes from 덕성여대 http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1189624 라플라스 변환의 정의와 예 정의 from https://www.youtube.com/watch?v=j6zT-mDWyM4 ---- Up: [[수학,math]] later [[변환,transform]]{ curr. goto [[VG:변환,transformation]] } Twin: [[VG:라플라스_변환,Laplace_transform]] Compare: [[푸리에변환Fourier_transform]] RENAMETHISPAGE