미적분학에서는 종종
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=Dy$ 로 미분을 표시한다. 기호
$\displaystyle D$ 는 미분가능한 함수를 또 다른 함수로 변환시키기 때문에
미분연산자(differential operator)라 한다.
고계미분은 다음과 같이 표현한다.
$\displaystyle \frac{d^ny}{dx^n}=D^ny$
$\displaystyle D$ 를 포함하는 다항식 표현들
$\displaystyle D+3,\,D^2+3D-4,\,5x^3D^3-6x^2D^2+4xD+9$ 도 미분연산자이다.
일반적으로
$\displaystyle n$ 계 미분연산자(nth-order differential operator)는 다음과 같이 정의된다.
$\displaystyle L=a_n(x)D^n + a_{n-1}(x)D^{n-1} + \cdots + a_1(x)D + a_0(x)$
미분의 두 기본성질인
$\displaystyle D(cf(x))=cDf(x)$ (c는 상수) 및
$\displaystyle D(f(x)+g(x))=Df(x)+Dg(x)$
로 인하여 미분연산자
$\displaystyle L$ 은 선형성을 갖는다.
즉 두 미분가능함수의 일차결합에 대한 $\displaystyle L$ 연산은 각 함수에 대한 $\displaystyle L$ 연산의 일차결합과 같다.
(Zill chap3.1.2 제차방정식)