Bernoulli (differential) equation

$\displaystyle \frac{dy}{dx}+p(x)\cdot y=f(x)\cdot y^n\quad\quad (n=1,2,3,\cdots)$

$\displaystyle y'+p(x)y=g(x)y^a$

$\displaystyle y'+p(x)y=q(x)y^n$
$\displaystyle (n\in\mathbb{R})$
$\displaystyle n=0,1$ 일 때는 선형미방linear_DE.

sol. ¶

식은

$\displaystyle y'+p(x)y=q(x)y^n$

양변을 $\displaystyle y^n$ 으로 나누면

$\displaystyle y^{-n}y'+p(x)y^{1-n}=q(x)$ ......(1)

$\displaystyle y^{1-n}\to u$ 로 치환한다.

$\displaystyle u=y^{1-n}$ ......(2)

(2)식의 양변을 $\displaystyle x$ 에 대해 미분하면

$\displaystyle u'=(1-n)y^{-n}y'$

이고, 양변을 $\displaystyle (1-n)$ 으로 나누면

$\displaystyle \frac{u'}{1-n}=y^{-n}y'$ ......(3)

(1)에 (3), (2)를 대입하면,

$\displaystyle \frac{u'}{1-n}+p(x)u=q(x)$
$\displaystyle u'+(1-n)p(x)u=(1-n)q(x)$

이렇게 1차선형미방으로 바꿔야 풀림.

ex ¶

$\displaystyle y'-y=-xy^2$