'''Bernoulli (differential) equation'''

$\frac{dy}{dx}+p(x)\cdot y=f(x)\cdot y^n\quad\quad (n=1,2,3,\cdots)$

$y'+p(x)y=g(x)y^a$

$y'+p(x)y=q(x)y^n$
$(n\in\mathbb{R})$
$n=0,1$ 일 때는 [[선형미방linear_DE]].

= sol. =
식은
 $y'+p(x)y=q(x)y^n$
양변을 $y^n$ 으로 나누면
 $y^{-n}y'+p(x)y^{1-n}=q(x)$ ......(1)
$y^{1-n}\to u$ 로 치환한다.
 $u=y^{1-n}$ ......(2)
(2)식의 양변을 $x$ 에 대해 미분하면
 $u'=(1-n)y^{-n}y'$
이고, 양변을 $(1-n)$ 으로 나누면
 $\frac{u'}{1-n}=y^{-n}y'$ ......(3)
(1)에 (3), (2)를 대입하면,
 $\frac{u'}{1-n}+p(x)u=q(x)$
 $u'+(1-n)p(x)u=(1-n)q(x)$
이렇게 1차선형미방으로 바꿔야 풀림.

= ex =
$y'-y=-xy^2$

= Twins =
https://calculus.subwiki.org/wiki/Bernoulli_differential_equation
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[[유체역학]]에 대한 것은 [[베르누이방정식]] 참조.
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