'''삼각 치환, trigonometric substitution'''
적분의 테크닉으로 쓰임. (삼각치환적분, integration by trigonometric substitution, ITS)

$\sqrt{a^2-x^2}$
$x=a\sin\theta$

$\sqrt{a^2+x^2}$
$x=a\tan\theta$

$\sqrt{x^2-a^2}$
$x=a\sec\theta$

i.e. (Stewart: Table of Trigonometric Substitutions)

||식 ||치환 ||θ의 범위 ||항등식 ||
||$\sqrt{a^2-x^2}$ ||$x=a\sin\theta$ ||$-\frac{\pi}2\le\theta\le\frac{\pi}2$ ||$1-\sin^2\theta=\cos^2\theta$ ||
||$\sqrt{a^2+x^2}$ ||$x=a\tan\theta$ ||$-\frac{\pi}2<\theta<\frac{\pi}2$ ||$1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$ ||
||$\sqrt{x^2-a^2}$ ||$x=a\sec\theta$ ||$0\le\theta<\frac{\pi}2\textrm{ or }\pi\le\theta<\frac{3\pi}2$ ||$\sec^2\theta-1=\tan^2\theta$ ||

셋째줄에서 θ의 범위를 저렇게 복잡하게 정한 이유는, 저 범위에서 $\tan\theta>0$ 이기 때문이다. 그래서 $a>0$ 일 때,
 $a\sqrt{\sec^2\theta-1}$
 $=a\sqrt{\tan^2\theta}$
이 단계에서 다음으로 넘어갈 수 있다.
 $=a\tan\theta$
(차영준, [[http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1269664 치환적분법 02 / 치환법칙]] 48분)

= 예 =
Q:
$\int\frac1{1+x^2}dx=\int dt$

Sol:
치환:
 $t=\tan x$
 $dt=\sec^2xdx$
식=
 $\int\frac1{1+\tan^2t}\sec^2$
TBW

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예
 $\int_{-2}^{-\sqrt{2}}\frac1{\sqrt{x^2-1}}dx$ 를 구하라.

sol.
$x=\sec\theta(\pi<\theta<\frac32\pi)$
$dx=\sec\theta\tan\theta d\theta$
$x=-2\Rightarrow \cos\theta=-\frac12, \theta=\frac43\pi$
$x=-\sqrt{2}\Rightarrow \cos\theta=-\frac1{\sqrt{2}},\theta=\frac54\pi$

 $\int_{\frac43\pi}^{\frac54\pi}\frac{\sec\theta\tan\theta}{\sqrt{\sec^2\theta-1}}d\theta =\int_{\frac43\pi}^{\frac54\pi}\frac{\sec\theta\tan\theta}{\sqrt{\tan^2\theta}}d\theta =\int_{\frac43\pi}^{\frac54\pi}\frac{\sec\theta\tan\theta}{|\tan\theta|}d\theta$
이 영역 $(\pi<\theta<\frac32\pi)$ 에서는 $\tan\theta>0$ 이므로
 $=\int_{\frac43\pi}^{\frac54\pi}\frac{\sec\theta\tan\theta}{\tan\theta}d\theta =\int_{\frac43\pi}^{\frac54\pi}\sec\theta d\theta$
 $=\left[\ln|\sec\theta+\tan\theta|\right]_{\frac43\pi}^{\frac54\pi}$
 $=\ln\frac{\sqrt{2}-1}{2-\sqrt{3}}$

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