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1.1. u=sin 치환 ¶
먼저 반드시 알아야 할 것은, 삼각항등식(피타고라스정리)
$\displaystyle \sin^2x+\cos^2x=1$
와$\displaystyle u=\sin x$
$\displaystyle du=\cos x dx$
치환이 자주 쓰인다.$\displaystyle du=\cos x dx$
ex. 다음 적분을 구한다면
$\displaystyle \int\sin^mx\cos^3xdx$
코사인 항을 두 부분으로 나눈다.$\displaystyle =\int\sin^m x \cos^2 x \cos x dx$
즉 '여분의 코사인'이 적분을 편하게 한다.치환: $\displaystyle u=\sin x,\;du=\cos x dx$
$\displaystyle =\int u^m (1-u^2) \cos x dx$$\displaystyle =\int u^m (1-u^2) du$
$\displaystyle =\int(u^m-u^{m+2})du$
$\displaystyle =\frac1{m+1}u^{m+1}-\frac1{m+3}u^{m+3}$
$\displaystyle =\frac1{m+1}\sin^{m+1}(x)-\frac1{m+3}\sin^{m+3}(x)$
$\displaystyle =\int(u^m-u^{m+2})du$
$\displaystyle =\frac1{m+1}u^{m+1}-\frac1{m+3}u^{m+3}$
$\displaystyle =\frac1{m+1}\sin^{m+1}(x)-\frac1{m+3}\sin^{m+3}(x)$
1.2. tan, sec² ¶
삼각항등식 양변을 코사인제곱으로 나눈
$\displaystyle 1+\tan^2x=\sec^2x=\frac1{\cos^2x}$
이게 유용한 까닭은$\displaystyle u=\tan x$
$\displaystyle du=\sec^2 xdx$
즉 $\displaystyle \tan$ 을 치환하여 $\displaystyle \sec^2$ 을 없앨 수 있기 때문.$\displaystyle du=\sec^2 xdx$
1.3. sin², cos² ¶
$\displaystyle \sin^2x=\frac12(1-\cos(2x))$
$\displaystyle \cos^2x=\frac12(1+\cos(2x))$
$\displaystyle \cos^2x=\frac12(1+\cos(2x))$
1.4. 삼각함수치환 ¶
$\displaystyle \sqrt{a^2-x^2},\sqrt{a^2+x^2},\sqrt{x^2-a^2}$ 형태의 항을 다룰 때,
$\displaystyle x$ 를 sin/tan/sec 즉
$\displaystyle a\sin\theta,a\tan\theta,a\sec\theta$ 중 하나로 대체.
$\displaystyle x$ 를 sin/tan/sec 즉
$\displaystyle a\sin\theta,a\tan\theta,a\sec\theta$ 중 하나로 대체.
1.4.1. sin 치환 ¶
$\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}$ 형태 식이 포함된 경우
$\displaystyle =a\sqrt{1-\sin^2\theta$
$\displaystyle =a\cos\theta$
$\displaystyle x=a\sin\theta$ 로 치환하면
$\displaystyle =\sqrt{a^2-a^2\sin^2\theta}$$\displaystyle =a\sqrt{1-\sin^2\theta$
$\displaystyle =a\cos\theta$
ex.
$\displaystyle \int\sqrt{1-x^2}dx$
$\displaystyle =\int\cos^2\theta d\theta$
$\displaystyle =\frac12\int(1+\cos 2\theta)d\theta$
$\displaystyle =\frac12\theta+\frac14\sin 2\theta$
$\displaystyle =\frac12\theta+\frac12\sin\theta\cos\theta$
$\displaystyle =\frac12\sin^{-1}x+\frac12 x\sqrt{1-x^2}$
$\displaystyle \int\sqrt{1-x^2}dx$
치환: $\displaystyle x=\sin\theta,\;dx=\cos\theta d\theta$
$\displaystyle =\int\sqrt{1-\sin^2\theta}\cos\theta d\theta$$\displaystyle =\int\cos^2\theta d\theta$
$\displaystyle =\frac12\int(1+\cos 2\theta)d\theta$
$\displaystyle =\frac12\theta+\frac14\sin 2\theta$
$\displaystyle =\frac12\theta+\frac12\sin\theta\cos\theta$
$\displaystyle =\frac12\sin^{-1}x+\frac12 x\sqrt{1-x^2}$
ex 2.
$\displaystyle \int\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx$
$\displaystyle =\int\frac{a+a\sin\theta}{a\cos\theta}a\cos\theta d\theta$
$\displaystyle =a\int(1+\sin\theta)d\theta$
$\displaystyle =a(\theta-\cos\theta)$
$\displaystyle =a\sin^{-1}\frac{x}{a}-a\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$
$\displaystyle =a\sin^{-1}\frac{x}{a}-\sqrt{a^2-x^2}$
$\displaystyle \int\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx$
분수를 정리하면, $\displaystyle \sqrt{\frac{a+x}{a-x}}=\sqrt{\frac{a+x}{a-x}\cdot\frac{a+x}{a+x}}=\frac{a+x}{sqrt{a^2-x^2}}$
치환: $\displaystyle x=a\sin\theta,\;dx=a\cos\theta d\theta$
$\displaystyle =\int\frac{a+x}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$치환: $\displaystyle x=a\sin\theta,\;dx=a\cos\theta d\theta$
$\displaystyle =\int\frac{a+a\sin\theta}{a\cos\theta}a\cos\theta d\theta$
$\displaystyle =a\int(1+\sin\theta)d\theta$
$\displaystyle =a(\theta-\cos\theta)$
$\displaystyle =a\sin^{-1}\frac{x}{a}-a\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$
$\displaystyle =a\sin^{-1}\frac{x}{a}-\sqrt{a^2-x^2}$
1.5. tan 치환 ¶
적분에 $\displaystyle \sqrt{a^2+x^2}$ 이 포함된 경우
$\displaystyle x=a\tan\theta,\;dx=a\sec^2\theta d\theta$
$\displaystyle x=a\tan\theta,\;dx=a\sec^2\theta d\theta$
항등식 $\displaystyle 1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$ 때문에 제곱근 식을 다음과 같이 간단히 할 수 있음
$\displaystyle \sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{a^2+a^2\tan^2\theta}=a\sqrt{1+\tan^2\theta}=a\sec\theta$
$\displaystyle \sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{a^2+a^2\tan^2\theta}=a\sqrt{1+\tan^2\theta}=a\sec\theta$
ex.
$\displaystyle \int\frac1{x^2+1}dx$
$\displaystyle =\int\frac1{\sec^2\theta}\sec^2\theta d\theta$
$\displaystyle =\int d\theta$
$\displaystyle =\theta$
$\displaystyle =\tan^{-1}x+C$
$\displaystyle \int\frac1{x^2+1}dx$
치환: $\displaystyle x=\tan\theta,\;dx=\sec^2\theta d\theta$
$\displaystyle =\int\frac1{\tan^2\theta+1}\sec^2\theta d\theta$$\displaystyle =\int\frac1{\sec^2\theta}\sec^2\theta d\theta$
$\displaystyle =\int d\theta$
$\displaystyle =\theta$
$\displaystyle =\tan^{-1}x+C$
참고. 분모가 (제곱)+1 형태가 아니라 이차식 형태라면?
$\displaystyle \int\frac1{y^2-6y+10}dy$
이 때는 완전제곱식을 만든다.$\displaystyle \frac1{y^2-6y+10}=\frac1{(y-3)^2+1}$
그리고 $\displaystyle x=y-3,\;dx=dy$ 치환을 한다. 그러면$\displaystyle \int\frac1{(y-3)^2+1}dy=\int\frac1{x^2+1}dx=\tan^{-1}x=\tan^{-1}(y-3)$
1.6. sec 치환 ¶
$\displaystyle \sqrt{x^2-a^2}$ 항이 있으면
$\displaystyle x=a\sec\theta$
$\displaystyle dx=a\tan\theta\sec\theta d\theta$
로 치환하고
$\displaystyle \sec^2\theta-1=\tan^2\theta$
를 사용.
$\displaystyle x=a\sec\theta$
$\displaystyle dx=a\tan\theta\sec\theta d\theta$
로 치환하고
$\displaystyle \sec^2\theta-1=\tan^2\theta$
를 사용.