적분에 $\displaystyle \sqrt{a^2+x^2}$ 이 포함된 경우
$\displaystyle x=a\tan\theta,\;dx=a\sec^2\theta d\theta$
항등식 $\displaystyle 1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$ 때문에 제곱근 식을 다음과 같이 간단히 할 수 있음
$\displaystyle \sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{a^2+a^2\tan^2\theta}=a\sqrt{1+\tan^2\theta}=a\sec\theta$
ex.
$\displaystyle \int\frac1{x^2+1}dx$
치환: $\displaystyle x=\tan\theta,\;dx=\sec^2\theta d\theta$
$\displaystyle =\int\frac1{\tan^2\theta+1}\sec^2\theta d\theta$
$\displaystyle =\int\frac1{\sec^2\theta}\sec^2\theta d\theta$
$\displaystyle =\int d\theta$
$\displaystyle =\theta$
$\displaystyle =\tan^{-1}x+C$
참고. 분모가 (제곱)+1 형태가 아니라 이차식 형태라면?
$\displaystyle \int\frac1{y^2-6y+10}dy$
이 때는 완전제곱식을 만든다.
$\displaystyle \frac1{y^2-6y+10}=\frac1{(y-3)^2+1}$
그리고
$\displaystyle x=y-3,\;dx=dy$ 치환을 한다. 그러면
$\displaystyle \int\frac1{(y-3)^2+1}dy=\int\frac1{x^2+1}dx=\tan^{-1}x=\tan^{-1}(y-3)$