convergence n. 수렴(성)
convergent adj. 수렴하는
converge v. 수렴하다
convergent adj. 수렴하는
converge v. 수렴하다
Compare: 발산,divergence
1. 절대수렴 vs 조건수렴 ¶
급수
$\displaystyle \sum|a_n|$ 이 수렴할 때,
$\displaystyle \sum a_n$ 은 절대수렴(absolutely convergent)한다고 한다.
$\displaystyle \sum|a_n|$ 이 수렴할 때,
$\displaystyle \sum a_n$ 은 절대수렴(absolutely convergent)한다고 한다.
$\displaystyle \sum a_n$ 은 수렴하지만
$\displaystyle \sum |a_n|$ 은 수렴하지 않을 때,
$\displaystyle \sum a_n$ 은 조건수렴(conditionally convergent) 또는 조건부수렴한다고 한다.
$\displaystyle \sum |a_n|$ 은 수렴하지 않을 때,
$\displaystyle \sum a_n$ 은 조건수렴(conditionally convergent) 또는 조건부수렴한다고 한다.
1.1. 정리 ¶
$\displaystyle \sum a_n$ 이 절대수렴하면,
$\displaystyle \sum a_n$ 은 수렴한다.
$\displaystyle \sum a_n$ 은 수렴한다.
증명
$\displaystyle 0\le a_n+|a_n| \le |a_n|+|a_n| = 2|a_n|$ 이므로 비교판정법에 의하여 $\displaystyle \sum(a_n+|a_n|)$ 은 수렴한다.
따라서 $\displaystyle \sum a_n=\sum(a_n+|a_n|)-\sum|a_n|$ 은 수렴한다.
$\displaystyle 0\le a_n+|a_n| \le |a_n|+|a_n| = 2|a_n|$ 이므로 비교판정법에 의하여 $\displaystyle \sum(a_n+|a_n|)$ 은 수렴한다.
따라서 $\displaystyle \sum a_n=\sum(a_n+|a_n|)-\sum|a_n|$ 은 수렴한다.
따름정리:
$\displaystyle \sum a_n$ 이 발산하는 급수라면, $\displaystyle \sum |a_n|$ 도 발산한다.
(앞 정리의 대우, contraposition or contrapositive)
$\displaystyle \sum a_n$ 이 발산하는 급수라면, $\displaystyle \sum |a_n|$ 도 발산한다.
(앞 정리의 대우, contraposition or contrapositive)
ex.
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}$ 은 절대수렴한다.
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}$ 은 절대수렴한다.
ex.
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 은 조건수렴한다.
왜냐하면,
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^{1/2}}$ 은 $\displaystyle p=\frac12\le1$ 인
p급수,p-series이므로 발산.
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 은 교대급수판정법에 의하여 수렴.
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 은 조건수렴한다.
왜냐하면,
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^{1/2}}$ 은 $\displaystyle p=\frac12\le1$ 인
p급수,p-series이므로 발산.$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 은 교대급수판정법에 의하여 수렴.
ex.
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}$ 은 절대수렴한다.
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}$ 은 절대수렴한다.
ex.
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^2}$ 은 수렴한다.
pf.
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\sin n}{n^2}\right|$ 은 수렴한다. 왜냐하면
따라서 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^2}$ 도 수렴한다.
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^2}$ 은 수렴한다.
pf.
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\sin n}{n^2}\right|$ 은 수렴한다. 왜냐하면
$\displaystyle 0\le\left|\frac{\sin n}{n^2}\right|\le\frac1{n^2}$
이고$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}$ 이 수렴 ( $\displaystyle p=2>1$ 인 p급수 )
하므로 비교판정법에 의하여 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\sin n}{n^2}\right|$ 은 수렴한다.따라서 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^2}$ 도 수렴한다.