[[삼각함수,trigonometric_function]]
'''역삼각함수,inverse_trigonometric_function'''
[[쌍곡선함수,hyperbolic_function]]
[[역쌍곡선함수,inverse_hyperbolic_function]]


linked from [[http://tomoyo.ivyro.net/123/wiki.php/함수%2Cfunction]]

참 쉬운 사실
 * arc- prefix을 붙이거나 -1제곱(^^-1^^)으로 표기
 * 표기 ^^-1^^을 역수로 해석하면 안 됨
  1/sin(x)는 csc(x)로 표기하고 sin^^-1^^(x)로 표기하지 않음

[[TableOfContents]]

= 정의역과 치역 =
||       ||domain ||range ||  ||domain ||range ||
||arcsin ||$[-1,1]$ ||$[-\frac\pi2,\frac\pi2]$     ||arccsc ||$(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ ||$[-\frac{\pi}2,0)\cup(0,\frac{\pi}2]$ ||
||arccos ||$[-1,1]$ ||$[0,\pi]$                    ||arcsec ||$(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ ||$[0,\frac{\pi}2)\cup(\frac{\pi}2,\pi]$ ||
||arctan ||$\mathbb{R}$ ||$(-\frac\pi2,\frac\pi2)$ ||arccot ||$\mathbb{R}$ ||$(0,\pi)$ ||

위의 표는 다시 말해,
||       ||domain ||range ||  ||domain ||range ||
||arcsin ||$-1\le x\le 1$||$-\frac{\pi}{2}\le y\le\frac{\pi}{2}$  ||arccsc ||$x\le -1\textrm{ or }x\ge 1$ ||$-\frac{\pi}{2}\le y\le\frac{\pi}{2},\,y\ne 0$ ||
||arccos ||$-1\le x\le 1$ ||$0\le y\le \pi$ ||arcsec ||$x\le -1\textrm{ or }x\ge 1$ ||$0\le y\le\pi,\,y\ne\frac{\pi}{2}$ ||
||arctan ||$-\infty<x<\infty$ ||$-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$ ||arccot ||$-\infty<x<\infty$ ||$0<y<\pi$ ||

arccsc에 대한 건 통일된 것은 아니다 (교재에 따라 다를 수 있다)

||$y=\sin^{-1}x$||⇔||$\sin y=x$ and $-\frac{\pi}2\le y\le \frac{\pi}2$ ||
||$y=\cos^{-1}x$||⇔||$\cos y=x$ and $0\le y\le \pi$ ||
||$y=\tan^{-1}x$||⇔||$\tan y=x$ and $-\frac{\pi}2<y<\frac{\pi}2$ ||

= arcsin, arccos가 포함된 항등식 =

$\cos^{-1}x+\cos^{-1}(-x)=\pi$

x>0이면,
$\sin^{-1}x+\cos^{-1}x=\frac{\pi}2$ .....(1)

(Thomas p50)

(1)을 미분하면,
 $\frac{d}{dx}(\cos^{-1}x)=0-\frac{d}{dx}(\sin^{-1}x)$
즉, [[arcsin_x(아크사인)_미분_증명]]에 의해
 $\frac{d}{dx}(\cos^{-1}x)=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$
이렇게 [[arccos_x(아크코사인)_미분_증명]]이 나온다.
비슷한 방법을 다음 식에도 적용 가능.

$\cot^{-1}x+\tan^{-1}x=\frac{\pi}2$

$\csc^{-1}x+\sec^{-1}x=\frac{\pi}2$

(Briggs p217)
= 역삼각함수의 도함수 =
== (arcsin x)' ==
$\fbox{\frac{d}{dx}(\sin^{-1}x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}}\;[-1,1]\mapsto[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ <- 이 범위 맞나??

Pf. Let
 $y=\sin^{-1}x\; \left(-1<x<1,\;-\frac\pi2<y<\frac\pi2\right)$
그러면
 $\sin y=x$
이므로
 $\cos y \frac{dy}{dx}=1$
 $\frac{dy}{dx}=\frac1{\cos y}$
그런데 $\sin^2y+\cos^2y=1$ 이고, 위의 $y$ 범위에 따라 $\cos y>0$ 이므로
 $=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

== (arccos x)' ==
$\fbox{(\cos^{-1}x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}} \quad (-1<x<1)}\; [-1,1]\mapsto[0,\pi]$


성질:
 $\cos^{-1}(\cos x)=x \quad(0\le x\le\pi)$
 $\cos(\cos^{-1}x)=x \quad(-1\le x\le 1)$

주의:
 $y=\cos x$ 는 짝함수(우함수)이지만
 $y=\cos^{-1}x$ 는 짝함수가 아니다.
== (arctan x)' ==
$\fbox{(\tan^{-1}x)'=\frac{1}{1+x^2}}\;\mathbb{R}\mapsto\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$

성질 1
 $\tan^{-1}(\tan x)=x\quad\quad (-\frac{\pi}2<x<\frac{\pi}2)$
 $\tan(\tan^{-1}x)=x\quad\quad (x\in\mathbb{R})$

성질 2
 $\tan^{-1}(-x)=-\tan^{-1}x$
  (즉, arctan은 홀함수)
== (arccsc x)' ==
== (arcsec x)' ==
== (arccot x)' ==

----
따라서 표로 만들면 다음과 같다.

= 도함수 표 =

변수 x가 있을 때,
||$\sin^{-1}x$ ||$\csc^{-1}x$ ||
||$\cos^{-1}x$ ||$\sec^{-1}x$ ||
||$\tan^{-1}x$ ||$\cot^{-1}x$ ||

의 도함수는 각각
||$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ||$\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ ||
||$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ ||$\frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ ||
||$\frac1{1+x^2}$ ||$\frac{-1}{1+x^2}$ ||

acsc, asec 미분에 분모가 |x|라고 하는 곳도 있고 x라고 하는 곳도 있는데 CLEANUP
----

복습: 함수 u가 있을 때,
||$\sin^{-1}u$ ||$\csc^{-1}u$ ||
||$\cos^{-1}u$ ||$\sec^{-1}u$ ||
||$\tan^{-1}u$ ||$\cot^{-1}u$ ||

의 도함수는 각각
||$\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$ ||$gg$ ||
||$x$ ||$x$ ||
||$x$ ||$x$ ||


= TOCLEANUP below =


= 역삼각함수 미분표 =

{{{#!mimetex
$$\begin{array}{|rl|rl|}\hline\\[10]
\frac{d}{dx}\sin^{-1}x &= \frac1{\sqrt{1-x^2}}  & \frac{d}{dx}\csc^{-1}x &= -\frac1{|x|\sqrt{x^2-1}}\\[10] 
\frac{d}{dx}\cos^{-1}x &= -\frac1{\sqrt{1-x^2}} & \frac{d}{dx}\sec^{-1}x &= \frac1{|x|\sqrt{x^2-1}}\\[10] 
\frac{d}{dx}\tan^{-1}x &= \frac1{1+x^2}         & \frac{d}{dx}\cot^{-1}x &= -\frac1{1+x^2}\\[10]
\hline\end{array}$$
}}}

||식 ||정의역 ||식 ||정의역 ||
||$\frac{d}{dx}(\sin^{-1}x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ ||$-1<x<1$  ||$\frac{d}{dx}(\csc^{-1}x)=-\frac1{|x|\sqrt{x^2-1}}$ ||$\textrm{ for }|x|>1$ ||
||$\frac{d}{dx}(\cos^{-1}x)=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ ||$\textrm{ for }-1<x<1$  ||$\frac{d}{dx}(\sec^{-1}x)=\frac1{|x|\sqrt{x^2-1}}$ ||$|x|>1$  ||
||$\frac{d}{dx}(\tan^{-1}x)=\frac1{1+x^2}$ ||$-\infty<x<\infty$ ||$\frac{d}{dx}(\cot^{-1}x)=-\frac1{1+x^2}$ ||$\textrm{ for }-\infty<x<\infty$ ||

for ...는 Briggs에서,
그 외는 이춘호공업수학에서. 왜 Briggs에는 다 안 나왔지?
= 역삼각함수 미분 증명 =

== arcsin 미분 ==
$\frac{d}{dx}\sin^{-1}x=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$

 $\sin^{-1}x=y$
로 놓으면
 $\sin y=x$
양변을 미분하면
 $\cos y dy=dx$
 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}$
여기서 질문 .... 왜 ±√...가 아니지? - cos의 부호를 생각하면 됨.
 $=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}$
 $=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$

== arccos 미분 ==
$\frac{d}{dx}\cos^{-1}x=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$

 $y=\cos^{-1}x$
로 놓으면
 $x=\cos y$
양변을 미분하면
 $dx=-\sin y dy$
 $\frac{dy}{dx}=-\frac1{\sin y}$
 $=-\frac{1}{\sqrt{1-cos^2 y}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
q:여기서도 어떻게 ±가아닌지....

== arctan 미분 ==
$\frac{d}{dx}\tan^{-1}x=\frac1{1+x^2}$ 

== arccsc 미분 ==
$\frac{d}{dx}\csc^{-1}x=-\frac1{|x|\sqrt{x^2-1}}$

== arcsec 미분 ==
$\frac{d}{dx}\sec^{-1}x=\frac1{|x|\sqrt{x^2-1}}$ 
== arccot 미분 ==
$\frac{d}{dx}\cot^{-1}x=-\frac1{1+x^2}$  


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References:
 * 세종대 일변수미적분학1: [[http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1269664]]

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Twin: [[VG:역삼각함수,inverse_trigonometric_function]]
Up: [[함수,function]]