지수함수의 미분은 지수함수이며, 지수함수는 이런 성질을 가진 유일한 함수.
그래서 0에 대해,
$\displaystyle y=e^{bx}$ 이면
$\displaystyle y'=be^{bx}=by$ 이다.

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
그래서 도함수가 자기의 상수배. $\displaystyle f'(0)=b$ 라고 하면,
위와 같은 꼴은 로그미분 꼴이다.
양변 적분하면
$\displaystyle x=0$ 이면 $\displaystyle f(0)=1$ 이었고 (저 위쪽), 바로 위 식에 $\displaystyle x=0$ 을 넣으면 $\displaystyle \ln 1=0$ 이므로, 상수 $\displaystyle C=0$ 이어야 한다.
그래서 미분하면 자기 자신이 되는 함수는 ( $\displaystyle f(x)=be^{bx}$ 도 아니고? CHK ) 다음 꼴 뿐이다.

$\displaystyle g(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$

그리고 다음 식을 계산해본다
$\displaystyle g(\alpha)g(\beta)$
$\displaystyle =(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)$
$\displaystyle =(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)$
$\displaystyle =\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)$
$\displaystyle =g(\alpha+\beta)$

따라서
$\displaystyle g(\alpha)g(\beta)=g(\alpha+\beta)$

그러므로 $\displaystyle g(\theta)=e^{b\theta}$ 인 지수함수이다.
그럼 $\displaystyle b$ 는 어떻게 구할까? 미분한다음 0을 넣는다. Recall: 위에서 $\displaystyle f'(0)=b$ 였음.

$\displaystyle g(0)=1$
$\displaystyle g'(0)=-\sin 0 + i\cos 0=i$
이게 $\displaystyle b$ 이다.

그래서,

$\displaystyle e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

이다.

$\displaystyle \theta=\pi$ 대입하면

$\displaystyle e^{i\pi}+1=0$

// 극좌표,polar_coordinate 극좌표계,polar_coordinate_system

$\displaystyle a=r\cos\theta$
$\displaystyle b=r\sin\theta$

$\displaystyle z=a+bi$

$\displaystyle z_1=r_1e^{i\theta_1}$
$\displaystyle z_2=r_2e^{i\theta_2}$
$\displaystyle z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$

삼각함수와 지수함수는 매우 밀접.

고등학교 때 다음을 열심히 외웠는데
$\displaystyle \cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$
$\displaystyle \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$

오일러 공식 $\displaystyle e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ 을 제곱해보자.
좌변을 제곱하면
우변을 제곱하면
위 두 식의 실수부 허수부를 비교하면 배각공식이 간단히 나옴을 확인 가능.

드무아브르 정리 생략. See 드무아브르_공식,de_Moivre_s_formula

부호를 음으로 바꾸어 생각하면
$\displaystyle e^{i(-\theta)}=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)$
$\displaystyle e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$
위 둘은 켤레 관계. 두 식을 더하면
두 식을 빼면

$\displaystyle y=e^x=$
위 식에서,
두번째 항을 미분하면 첫번째 항이 되고,
세번째 항을 미분하면 두번째 항이 되고, ...
그래서 $\displaystyle y'=$
위의 y는 summation notation으로 나타내면
$\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$

일반항
은 특별하다. 미분해보면
즉 바로 자기 앞의 항이 나온다.
그러니까 도함수가 자기 자신과 같다.

두번미분하면 자기자신이 나오는 함수? sin, cos.
이걸 위와 같은 식으로 궁리해보면

$\displaystyle y''=-y?$

$\displaystyle y=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\cdots$
$\displaystyle y'=a_1+2\cdot a_2x+3\cdot a_3x^2+4a_4x^3+\cdots$
$\displaystyle y''=2\cdot 1\cdot a_2+3\cdot 2\cdot a_3 x + 4\cdot 3 \cdot a_4 x^2+\cdots$

$\displaystyle y''=-y$ 이려면,
$\displaystyle a_4=-\frac{a_2}{4\cdot 3}=-\frac1{4\cdot 3}\left(-\frac1{2\cdot 1}\right)a_0=\frac{a_0}{4!}$
$\displaystyle a_6=-\frac{a_4}{6\cdot 5}=-\frac{1}{6\cdot 5}\frac{a_0}{4!}=-\frac{a_0}{6!}$ 같은 식으로
$\displaystyle a_8=\frac{a_0}{8!}$ 이렇게 $\displaystyle +,-$ 가 번갈아 가며 나옴

$\displaystyle y=a_0\left( 1-\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} -\frac{x^6}{6!} +\frac{x^8}{8!}-\cdots\right)$
여기 덧셈의 각 항들은, 두 번 미분하면, 앞의 항을 죽이게 되어 있다.

$\displaystyle y=a_1\left( x -\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!} +\frac{x^9}{9!} -\cdots\right)$
이것도 마찬가지로 두 번 미분하면 앞 항을 소거.

이것들은 각각 $\displaystyle \cos x,\sin x$ 가 된다.
$\displaystyle \cos x=1-\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} -\frac{x^6}{6!} +\frac{x^8}{8!}-\cdots$
$\displaystyle \sin x=x -\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!} +\frac{x^9}{9!} -\cdots$

그리고 이제 $\displaystyle x=i\theta$ 를 대입해서 볼 수 있어야 한다.
$\displaystyle e^{i\theta}=1+i\theta+\frac{-\theta^2}{2!}+\frac{-i\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+\frac{i\theta^5}{5!}+\frac{-\theta^6}{6!}+\frac{-i\theta^7}{7!}+\cdots$
이상은 사실 학기말에 해도 이상하지 않은 내용인데 왜 했느냐면

circle $\displaystyle x^2+y^2=1$	sine/cosine $\displaystyle \cos^2\theta+\sin^2\theta=1$
hyperbola $\displaystyle x^2-y^2=1$	hyperbolic sine/cosine $\displaystyle \cosh^2\theta-\sinh^2\theta=1$

오일러 공식을 모른다면 hyperbolic cosine
이 밑도끝도없이 갑자기 나오기 때문. 왜 저렇게 나오는지 설명 없이. 오일러 공식을 알고 있다면 삼각함수와 지수함수의 관계인
임을 알고 있음.

참고로 위 표의 circle의 $\displaystyle y$ 에 허수를 넣으면 바로 아래 hyperbola 식이 됨.

함수,function#s-5 참조

전단사 = 일대일대응 = bijective = one-to-one correspondence

단사 = injective
$\displaystyle \sin$ 은 단사가 아니고 역함수를 생각하기 위해 범위를 제한함을 설명

역삼각함수의 기호에 대해
임을 설명

$\displaystyle y=\sin^{-1}x$ ...(1)
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\sin^{-1}x\right)$

(1)의 양변에 sin을 적용하면
$\displaystyle \sin y=x$ ...(2)
사실 자기와 역함수를 합성하면 항등함수니까. 식으로는
$\displaystyle \sin(\sin^{-1}x)=x$

(2)를 $\displaystyle y$ 로 미분하면
$\displaystyle \frac{d}{dy}\sin y=\frac{dx}{dy}$
$\displaystyle \cos y=\frac{dx}{dy}$
$\displaystyle \sqrt{1-\sin^2 y}=\frac{dx}{dy}$ 여기에 (2)를 적용하면
$\displaystyle \sqrt{1-x^2}=\frac{dx}{dy}$
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}(\sin^{-1}x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

이하 기하적으로 + differential을 써서 설명하는데, 화면 맨 위와 아래쪽이 짤려서 받아적기 불가능.

$\displaystyle y=\cos^{-1}x$
$\displaystyle \cos y=x$
$\displaystyle -\sin y=\frac{dx}{dy}$
$\displaystyle -\sqrt{1-\cos^2 y}=\frac{dx}{dy}$
$\displaystyle -\sqrt{1-x^2}=\frac{dx}{dy}$
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\cos^{-1}x=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$

이렇게 arcsin과 arccos의 미분은 비슷하며 더하면 0이 된다.
$\displaystyle Y=\sin^{-1}x+\cos^{-1}x$
$\displaystyle \frac{dY}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)=0$
그래서 $\displaystyle Y$ 는 상수함수.

$\displaystyle \sin^{-1}0=0$
$\displaystyle \cos^{-1}0=\frac{\pi}{2}$ 여기서 우변 둘을 더하면 $\displaystyle 0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$

$\displaystyle \sin^{-1}\frac12=\frac{\pi}{6}$
$\displaystyle \cos^{-1}\frac12=\frac{\pi}{3}$ 여기서도 $\displaystyle \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}3=\frac{\pi}2$

$\displaystyle \sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\pi}{4}$
$\displaystyle \cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\pi}{4}$ 여기서도 $\displaystyle \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$

삼각형 에서 $\displaystyle a^2+b^2=1$ 이고
$\displaystyle a=\cos\theta$
$\displaystyle b=\sin\theta=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)$
아래 식을 뒤집으면
$\displaystyle \theta=\sin^{-1}b$
$\displaystyle \frac{\pi}{2}-\theta=\cos^{-1}b$
그래서 둘을 더하면
$\displaystyle \frac{\pi}{2}=\sin^{-1}b+\cos^{-1}b$

arctan의 그래프 설명.

$\displaystyle y=\tan^{-1}x$
$\displaystyle \tan y=x$
$\displaystyle \frac{d}{dy}\tan y=\frac{d}{dy}\frac{\sin y}{\cos y}=\frac{\cos^2 y+\sin^2 y}{\cos^2 y}=1+\tan^2 y=\sec^2 y$
여기서 $\displaystyle \sec^2 y$ 는 쓰지 않고 $\displaystyle \frac{d}{dy}\tan y=1+\tan^2 y$ 에 주목하면
$\displaystyle 1+\tan^2 y=\frac{dx}{dy}$
$\displaystyle 1+x^2=\frac{dx}{dy}$
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac1{1+x^2}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\tan^{-1}x=\frac1{1+x^2}$

삼각형 설명은 화면이 짤려 알 수 없음. 아무튼 결과는 아는대로
$\displaystyle b^2=c^2+a^2-2ac\cos\theta$
$\displaystyle \cos\theta=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}$
$\displaystyle \theta=\cos^{-1}\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}$

$\displaystyle y=\int_0^2\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int_0^2\left(\frac{d}{dx}\sin^{-1}x\right)dx$
$\displaystyle x=\sin\theta$
$\displaystyle dx=\cos\theta \, d\theta=\sqrt{1-x^2}d\theta$
$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int d\theta=\theta=\sin^{-1}x$

참고로 위의 식은...
$\displaystyle \int_0^2\left(-\frac{d}{dx}\cos^{-1}x\right)dx$

$\displaystyle A=\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\left[\tan^{-1}x\right]_0^1$
고등학교 식으로는
$\displaystyle x=\tan\theta$
$\displaystyle dx=(1+\tan^2\theta)d\theta=(1+x^2)d\theta$
$\displaystyle \int\frac{dx}{1+x^2}=\int d\theta=\theta=\tan^{-1}x$

다음이 같다는 것을 증명
$\displaystyle y=\cos^{-1}\frac1{\sqrt{1+x^2}}=\tan^{-1}x$

좌변을 미분해보면
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{-\frac12(1+x^2)^{-\frac32}\cdot 2x}{\sqrt{1-\left( \frac1{1+x^2} \right)}}$
여기서 적분상수를 고려해도 양변이 같다는 것을 알 수 있음 (생략)

그림으로 표현하면

$\displaystyle \int\frac{dx}{x^2+2x+2}$

$\displaystyle \int\frac{\tan^{-1}(3x)}{1+9x^2}dx$

참고로
$\displaystyle 3,dx$ 를 바꾸면
???

명확하게 하려면 $\displaystyle u=\tan^{-1}(3x)$ 로 치환
주어진 적분식은

지구 질량 M, 물체 질량 m, 거리 r
중력은
$\displaystyle m$ 을 소거하면
여기서 기가막힌 트릭이 뭐냐면 r의 도함수를 양변에 곱하는 것
(위에서 왜냐면
이고 양변을 2로 나누면 되니까)

아무튼 그래서
이고 다시 쓰면
$\displaystyle \frac{d}{dt}\frac1{r}=\frac{d}{dr}\frac1{r}\frac{dr}{dt}=-\frac{1}{r^2}r'$ 이걸 (1)의 좌변에 적용하면

미분해서 0이 되면 상수함수.
여기서 그 상수는 바로 '단위질량 당 에너지' $\displaystyle E/m$
양변에 $\displaystyle m$ 을 곱하면
즉 에너지보존법칙이 나옴.

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