$\displaystyle y=e^x=$
$\displaystyle 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$
위 식에서,
두번째 항을 미분하면 첫번째 항이 되고,
세번째 항을 미분하면 두번째 항이 되고, ...
그래서
$\displaystyle y'=$
$\displaystyle 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$
위의 y는 summation notation으로 나타내면
$\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$
일반항
$\displaystyle \frac{x^n}{n!}$
은 특별하다. 미분해보면
$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{x^n}{n!}\right)=\frac{nx^{n-1}}{n!}=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$
즉 바로 자기 앞의 항이 나온다.
그러니까 도함수가 자기 자신과 같다.
두번미분하면 자기자신이 나오는 함수? sin, cos.
이걸 위와 같은 식으로 궁리해보면
$\displaystyle y''=-y?$
$\displaystyle y=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\cdots$
$\displaystyle y'=a_1+2\cdot a_2x+3\cdot a_3x^2+4a_4x^3+\cdots$
$\displaystyle y''=2\cdot 1\cdot a_2+3\cdot 2\cdot a_3 x + 4\cdot 3 \cdot a_4 x^2+\cdots$
$\displaystyle y''=-y$ 이려면,
$\displaystyle a_2=-\frac{a_0}{2\cdot 1}$
$\displaystyle a_3=-\frac{a_1}{3\cdot 2}$
$\displaystyle a_4=-\frac{a_2}{4\cdot 3}$
$\displaystyle a_5=-\frac{a_3}{5\cdot 4}$
$\displaystyle a_4=-\frac{a_2}{4\cdot 3}=-\frac1{4\cdot 3}\left(-\frac1{2\cdot 1}\right)a_0=\frac{a_0}{4!}$
$\displaystyle a_6=-\frac{a_4}{6\cdot 5}=-\frac{1}{6\cdot 5}\frac{a_0}{4!}=-\frac{a_0}{6!}$ 같은 식으로
$\displaystyle a_8=\frac{a_0}{8!}$ 이렇게
$\displaystyle +,-$ 가 번갈아 가며 나옴
$\displaystyle y=a_0\left( 1-\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} -\frac{x^6}{6!} +\frac{x^8}{8!}-\cdots\right)$
여기 덧셈의 각 항들은, 두 번 미분하면, 앞의 항을 죽이게 되어 있다.
$\displaystyle y=a_1\left( x -\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!} +\frac{x^9}{9!} -\cdots\right)$
이것도 마찬가지로 두 번 미분하면 앞 항을 소거.
이것들은 각각 $\displaystyle \cos x,\sin x$ 가 된다.
$\displaystyle \cos x=1-\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} -\frac{x^6}{6!} +\frac{x^8}{8!}-\cdots$
$\displaystyle \sin x=x -\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!} +\frac{x^9}{9!} -\cdots$
그리고 이제
$\displaystyle x=i\theta$ 를 대입해서 볼 수 있어야 한다.
$\displaystyle e^{i\theta}=1+i\theta+\frac{-\theta^2}{2!}+\frac{-i\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+\frac{i\theta^5}{5!}+\frac{-\theta^6}{6!}+\frac{-i\theta^7}{7!}+\cdots$
$\displaystyle =\left(1-\frac{\theta^2}{2}+\frac{\theta^4}{4!}-\frac{\theta^6}{6!}+\cdots\right)+i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\frac{\theta^7}{7!}+\cdots\right)$
$\displaystyle =\cos\theta+i\sin\theta$
이상은 사실 학기말에 해도 이상하지 않은 내용인데 왜 했느냐면
circle $\displaystyle x^2+y^2=1$ | sine/cosine $\displaystyle \cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ |
hyperbola $\displaystyle x^2-y^2=1$ | hyperbolic sine/cosine $\displaystyle \cosh^2\theta-\sinh^2\theta=1$ |
오일러 공식을 모른다면 hyperbolic cosine
$\displaystyle \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
이 밑도끝도없이 갑자기 나오기 때문. 왜 저렇게 나오는지 설명 없이. 오일러 공식을 알고 있다면 삼각함수와 지수함수의 관계인
$\displaystyle \cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$
임을 알고 있음.
참고로 위 표의 circle의 $\displaystyle y$ 에 허수를 넣으면 바로 아래 hyperbola 식이 됨.