#noindex http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=856998 카메라가 강의를 제때 안 따라가고, 화면 한계의 위 아래를 정확히 몰라서 짤리는 내용이 많아서 보기 불편. <> = 1. (1) = 지수함수의 미분은 지수함수이며, 지수함수는 이런 성질을 가진 유일한 함수. $a^xa^y=a^{x+y}$ $f(x+y)=f(x)f(y)$ 그래서 0에 대해, $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)$ $\Rightarrow f(0)=1$ $\textrm{i.e.}\;\;a^0=1$ $y=e^{bx}$ 이면 $y'=be^{bx}=by$ 이다. $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ $=\lim_{h\to 0}\frac{f(x)f(h)-f(x)f(0)}{h}$ $=f(x)\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}$ $=f(x)f'(0)$ 그래서 도함수가 자기의 상수배. $f'(0)=b$ 라고 하면, $\frac{f'(x)}{f(x)}=b$ 위와 같은 꼴은 로그미분 꼴이다. $\frac{d}{dx}\left[\ln f(x)\right]=b$ 양변 적분하면 $\ln f(x)=bx+C$ (C는 상수) $x=0$ 이면 $f(0)=1$ 이었고 (저 위쪽), 바로 위 식에 $x=0$ 을 넣으면 $\ln 1=0$ 이므로, 상수 $C=0$ 이어야 한다. $\ln f(x)=bx$ $e^{bx}=f(x)$ 그래서 미분하면 자기 자신이 되는 함수는 ( $f(x)=be^{bx}$ 도 아니고? CHK ) 다음 꼴 뿐이다. $f(x)=e^{bx}$ == 17m == $g(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$ 그리고 다음 식을 계산해본다 $g(\alpha)g(\beta)$ $=(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)$ $=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)$ $=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)$ $=g(\alpha+\beta)$ 따라서 $g(\alpha)g(\beta)=g(\alpha+\beta)$ 그러므로 $g(\theta)=e^{b\theta}$ 인 지수함수이다. 그럼 $b$ 는 어떻게 구할까? 미분한다음 0을 넣는다. Recall: 위에서 $f'(0)=b$ 였음. $g(0)=1$ $g'(0)=-\sin 0 + i\cos 0=i$ 이게 $b$ 이다. 그래서, > $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ 이다. $\theta=\pi$ 대입하면 > $e^{i\pi}+1=0$ == 극좌표 == // [[극좌표,polar_coordinate]] [[극좌표계,polar_coordinate_system]] $a=r\cos\theta$ $b=r\sin\theta$ $z=a+bi$ $=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ $=re^{i\theta}$ ---- $z_1=r_1e^{i\theta_1}$ $z_2=r_2e^{i\theta_2}$ $z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ == 삼각함수의 배각공식 == 삼각함수와 지수함수는 매우 밀접. 고등학교 때 다음을 열심히 외웠는데 $\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$ $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ 오일러 공식 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ 을 제곱해보자. 좌변을 제곱하면 $(e^{i\theta})^2=e^{2i\theta}=\cos 2\theta+i\sin 2\theta$ 우변을 제곱하면 $(\cos\theta+i\sin\theta)^2=\cos^2\theta-\sin^2\theta+2i\cos\theta\sin\theta$ 위 두 식의 실수부 허수부를 비교하면 배각공식이 간단히 나옴을 확인 가능. 드무아브르 정리 생략. See [[VG:드무아브르_공식,de_Moivre_s_formula]] 부호를 음으로 바꾸어 생각하면 $e^{i(-\theta)}=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)$ $=\cos\theta-i\sin\theta$ $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ 위 둘은 켤레 관계. 두 식을 더하면 $\cos\theta=\frac12(e^{i\theta}+e^{-i\theta})$ 두 식을 빼면 $\sin\theta=\frac1{2i}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})$ == Taylor 공식 == $y=e^x=$ $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$ 위 식에서, 두번째 항을 미분하면 첫번째 항이 되고, 세번째 항을 미분하면 두번째 항이 되고, ... 그래서 $y'=$ $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$ 위의 y는 summation notation으로 나타내면 $y=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ 일반항 $\frac{x^n}{n!}$ 은 특별하다. 미분해보면 $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^n}{n!}\right)=\frac{nx^{n-1}}{n!}=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$ 즉 바로 자기 앞의 항이 나온다. 그러니까 도함수가 자기 자신과 같다. ---- 두번미분하면 자기자신이 나오는 함수? sin, cos. 이걸 위와 같은 식으로 궁리해보면 $y''=-y?$ $y=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\cdots$ $y'=a_1+2\cdot a_2x+3\cdot a_3x^2+4a_4x^3+\cdots$ $y''=2\cdot 1\cdot a_2+3\cdot 2\cdot a_3 x + 4\cdot 3 \cdot a_4 x^2+\cdots$ $y''=-y$ 이려면, $a_2=-\frac{a_0}{2\cdot 1}$ $a_3=-\frac{a_1}{3\cdot 2}$ $a_4=-\frac{a_2}{4\cdot 3}$ $a_5=-\frac{a_3}{5\cdot 4}$ $a_4=-\frac{a_2}{4\cdot 3}=-\frac1{4\cdot 3}\left(-\frac1{2\cdot 1}\right)a_0=\frac{a_0}{4!}$ $a_6=-\frac{a_4}{6\cdot 5}=-\frac{1}{6\cdot 5}\frac{a_0}{4!}=-\frac{a_0}{6!}$ 같은 식으로 $a_8=\frac{a_0}{8!}$ 이렇게 $+,-$ 가 번갈아 가며 나옴 $y=a_0\left( 1-\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} -\frac{x^6}{6!} +\frac{x^8}{8!}-\cdots\right)$ 여기 덧셈의 각 항들은, 두 번 미분하면, 앞의 항을 죽이게 되어 있다. $y=a_1\left( x -\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!} +\frac{x^9}{9!} -\cdots\right)$ 이것도 마찬가지로 두 번 미분하면 앞 항을 소거. 이것들은 각각 $\cos x,\sin x$ 가 된다. $\cos x=1-\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} -\frac{x^6}{6!} +\frac{x^8}{8!}-\cdots$ $\sin x=x -\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!} +\frac{x^9}{9!} -\cdots$ 그리고 이제 $x=i\theta$ 를 대입해서 볼 수 있어야 한다. $e^{i\theta}=1+i\theta+\frac{-\theta^2}{2!}+\frac{-i\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+\frac{i\theta^5}{5!}+\frac{-\theta^6}{6!}+\frac{-i\theta^7}{7!}+\cdots$ $=\left(1-\frac{\theta^2}{2}+\frac{\theta^4}{4!}-\frac{\theta^6}{6!}+\cdots\right)+i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\frac{\theta^7}{7!}+\cdots\right)$ $=\cos\theta+i\sin\theta$ 이상은 사실 학기말에 해도 이상하지 않은 내용인데 왜 했느냐면 ||circle $x^2+y^2=1$ ||sine/cosine $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ || ||hyperbola $x^2-y^2=1$ ||hyperbolic sine/cosine $\cosh^2\theta-\sinh^2\theta=1$ || 오일러 공식을 모른다면 hyperbolic cosine $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ 이 밑도끝도없이 갑자기 나오기 때문. 왜 저렇게 나오는지 설명 없이. 오일러 공식을 알고 있다면 삼각함수와 지수함수의 관계인 $\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ 임을 알고 있음. 참고로 위 표의 circle의 $y$ 에 허수를 넣으면 바로 아래 hyperbola 식이 됨. = 1. (2) = [[VG:함수,function#s-5]] 참조 전단사 = 일대일대응 = bijective = one-to-one correspondence 단사 = injective $f(x_1)\ne f(x_2)\textrm{ if }x_1\ne x_2$ $\sin$ 은 단사가 아니고 역함수를 생각하기 위해 범위를 제한함을 설명 역삼각함수의 기호에 대해 $y=\sin x \Leftrightarrow x=\sin^{-1}y\ne \frac{1}{\sin y}$ 임을 설명 == arcsin의 미분 == $y=\sin^{-1}x$ ...(1) $\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\sin^{-1}x\right)$ (1)의 양변에 sin을 적용하면 $\sin y=x$ ...(2) 사실 자기와 역함수를 합성하면 항등함수니까. 식으로는 $\sin(\sin^{-1}x)=x$ (2)를 $y$ 로 미분하면 $\frac{d}{dy}\sin y=\frac{dx}{dy}$ $\cos y=\frac{dx}{dy}$ $\sqrt{1-\sin^2 y}=\frac{dx}{dy}$ 여기에 (2)를 적용하면 $\sqrt{1-x^2}=\frac{dx}{dy}$ $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ > $\frac{d}{dx}(\sin^{-1}x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 이하 기하적으로 + differential을 써서 설명하는데, 화면 맨 위와 아래쪽이 짤려서 받아적기 불가능. == arccos의 미분 == $y=\cos^{-1}x$ $\cos y=x$ $-\sin y=\frac{dx}{dy}$ $-\sqrt{1-\cos^2 y}=\frac{dx}{dy}$ $-\sqrt{1-x^2}=\frac{dx}{dy}$ $\frac{dy}{dx}=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ > $\frac{d}{dx}\cos^{-1}x=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ ---- 이렇게 arcsin과 arccos의 미분은 비슷하며 더하면 0이 된다. $Y=\sin^{-1}x+\cos^{-1}x$ $\frac{dY}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)=0$ 그래서 $Y$ 는 상수함수. $\sin^{-1}0=0$ $\cos^{-1}0=\frac{\pi}{2}$ 여기서 우변 둘을 더하면 $0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$ $\sin^{-1}\frac12=\frac{\pi}{6}$ $\cos^{-1}\frac12=\frac{\pi}{3}$ 여기서도 $\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}3=\frac{\pi}2$ $\sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\pi}{4}$ $\cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\pi}{4}$ 여기서도 $\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$ ---- 삼각형 https://i.imgur.com/VnnQh9C.png 에서 $a^2+b^2=1$ 이고 $a=\cos\theta$ $b=\sin\theta=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)$ 아래 식을 뒤집으면 $\theta=\sin^{-1}b$ $\frac{\pi}{2}-\theta=\cos^{-1}b$ 그래서 둘을 더하면 $\frac{\pi}{2}=\sin^{-1}b+\cos^{-1}b$ ---- arctan의 그래프 설명. == arctan의 미분 == $y=\tan^{-1}x$ $\tan y=x$ $\frac{d}{dy}\tan y=\frac{d}{dy}\frac{\sin y}{\cos y}=\frac{\cos^2 y+\sin^2 y}{\cos^2 y}=1+\tan^2 y=\sec^2 y$ 여기서 $\sec^2 y$ 는 쓰지 않고 $\frac{d}{dy}\tan y=1+\tan^2 y$ 에 주목하면 $1+\tan^2 y=\frac{dx}{dy}$ $1+x^2=\frac{dx}{dy}$ $\frac{dy}{dx}=\frac1{1+x^2}$ > $\frac{d}{dx}\tan^{-1}x=\frac1{1+x^2}$ == 코사인 법칙 관련 == 삼각형 설명은 화면이 짤려 알 수 없음. 아무튼 결과는 아는대로 $b^2=c^2+a^2-2ac\cos\theta$ $\cos\theta=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}$ $\theta=\cos^{-1}\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}$ == 적분 == $y=\int_0^2\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int_0^2\left(\frac{d}{dx}\sin^{-1}x\right)dx$ $=\left[\sin^{-1}x\right]_0^{\frac12}$ $=\sin^{-1}\frac12-\sin^{-1}0$ $=\frac{\pi}6-0$ $=\frac{\pi}6$ $x=\sin\theta$ $dx=\cos\theta \, d\theta=\sqrt{1-x^2}d\theta$ $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int d\theta=\theta=\sin^{-1}x$ 참고로 위의 식은... $\int_0^2\left(-\frac{d}{dx}\cos^{-1}x\right)dx$ $=\left[-\cos^{-1}x\right]_0^{\frac12}$ $=-\cos^{-1}\frac12+\cos^{-1}0$ $=-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}$ $=\frac{\pi}{6}$ == 정적분 예제 == $A=\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\left[\tan^{-1}x\right]_0^1$ $=\tan^{-1}1-\tan^{-1}0$ $=\frac{\pi}4-0$ $=\frac{\pi}4$ 고등학교 식으로는 $x=\tan\theta$ $dx=(1+\tan^2\theta)d\theta=(1+x^2)d\theta$ $\int\frac{dx}{1+x^2}=\int d\theta=\theta=\tan^{-1}x$ == 51m 예제 == 다음이 같다는 것을 증명 $y=\cos^{-1}\frac1{\sqrt{1+x^2}}=\tan^{-1}x$ 좌변을 미분해보면 $\frac{dy}{dx}=-\frac{-\frac12(1+x^2)^{-\frac32}\cdot 2x}{\sqrt{1-\left( \frac1{1+x^2} \right)}}$ $=-\frac{x(1+x^2)^{-\frac32}}{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}$ $=(1+x^2)^{-1}$ $=\frac1{1+x^2}=\frac{d}{dx}\tan^{-1}x$ 여기서 적분상수를 고려해도 양변이 같다는 것을 알 수 있음 (생략) 그림으로 표현하면 https://i.imgur.com/td66jMy.png == 59m 예제 == $\int\frac{dx}{x^2+2x+2}$ $=\int\frac{dx}{(x+1)^2+1}$ $=\int\frac{dx}{1+(x+1)^2}$ $=\tan^{-1}(x+1)+C$ == 예제 2 == $\int\frac{\tan^{-1}(3x)}{1+9x^2}dx$ 참고로 $\frac{d}{dx}\tan^{-1}(3x)=\frac{3}{1+(3x)^2}$ $3,dx$ 를 바꾸면 $\frac13 d \tan^{-1}(3x)=\frac{dx}{1+(3x)^2}$ ??? 명확하게 하려면 $u=\tan^{-1}(3x)$ 로 치환 $\frac{du}{dx}=\frac3{1+9x^2}$ $du=\frac3{1+9x^2}dx$ 주어진 적분식은 $=\int u\frac{du}{3}$ $=\frac{u^2}{6}+C$ $=\frac16(\tan^{-1}(3x))^2+C$ == 물리 얘기 == 지구 질량 M, 물체 질량 m, 거리 r 중력은 $F(r)=-G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{d^2r}{dt^2}$ $m$ 을 소거하면 $\frac{d^2r}{dt^2}=-\frac{GM}{r^2}=r''$ 여기서 기가막힌 트릭이 뭐냐면 r의 도함수를 양변에 곱하는 것 $-\frac{GM}{r^2}r'=r'r''=\frac{d}{dt}\left(\frac12(r')^2\right)$ (위에서 왜냐면 $\frac{d}{dt}(r')^2=2(r')r''$ 이고 양변을 2로 나누면 되니까) 아무튼 그래서 $-\frac{GM}{r^2}r'=\frac{d}{dt}\left(\frac12(r')^2\right)$ ...(1) 이고 다시 쓰면 $\frac{d}{dt}\left(\frac{GM}{r}\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{v^2}{2}\right)$ $\frac{d}{dt}\frac1{r}=\frac{d}{dr}\frac1{r}\frac{dr}{dt}=-\frac{1}{r^2}r'$ 이걸 (1)의 좌변에 적용하면 $\frac{d}{dt}\left(\frac{GM}{r}\right)=\frac{d}{dt}\frac12v^2$ $\frac{d}{dt}\left(\frac12v^2-\frac{GM}{r}\right)=0$ 미분해서 0이 되면 상수함수. $\frac12v^2-\frac{GM}{r}=\frac{E}m$ 여기서 그 상수는 바로 '단위질량 당 에너지' $E/m$ 양변에 $m$ 을 곱하면 운동에너지 - 위치에너지 = 전체에너지 즉 에너지보존법칙이 나옴. = 2. 쌍곡함수/역쌍곡함수 = ---- Up: [[OnlineLectures]]