이변수 함수
 $u(x,y)=c$
의 '''전미분'''은
 $du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$
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3차원 공간에서 함수 $f$ 가 $f(x,y,z)$ 형태로 주어졌다면, 변수 $x,y,z$ 의 변화에 따른 $f$ 의 함수값의 변화 즉 '''전미분''' $df$ 는
 $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$
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변수 $n$ 개인 함수 $f=f(x_1,\cdots,x_n)$ 의 '''전미분'''은
 $df=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$
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$u=f(x,y)$ 에서
변수 $x$ 가 $x$ 에서 $x+\Delta x$ 로,
변수 $y$ 가 $y$ 에서 $y+\Delta y$ 로 변하면,
함수값 $u$ 의 변화량 $du$ ('''전미분''')은:
 $du=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy$

ex.
 $f(x,y)=xy^2+\sin x$
 $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$
  $=(y^2+\cos x)dx+2xydy$

ex.
 $f(x,y)=3x^2-6xy$
 $df=(6x-6y)dx+(-6x)dy$
참고로, 만약
 $df=0$
이면
 $f(x,y)=3x^2-6xy=C$
즉 상수값이라는 것이다. (중요)

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이변수함수에서 $x\to x+\Delta x,\,y\to y+\Delta y$ 로 변할 때 $u$ 의 변화 $\Delta u$ 는
 $\Delta u=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$
  $=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)+f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$
극한 $\Delta x\to 0,\,\Delta y \to 0$ 을 생각하면
 $du=df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$

여기서 '''differential'''([[전미분,total_differential]]) $df$ 는 네 독립변수 $x,y,dx,dy$ 에 대한 함수로 볼 수 있다.

'''Higher differentials''' $d^2f, d^3f, \cdots, d^nf$ 도 정의 가능.
 $d^2f=d(df)=d\left(\frac{\partial f}{\partial x}dx\right)+d\left(\frac{\partial f}{\partial y}dy\right)$
$d$ 를 $\frac{\partial}{\partial x}dx+\frac{\partial}{\partial y}dy$ 로 치환하면
 $d^2f=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}dx\right)dx+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}dx\right)dy+\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}dy\right)dx+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}dy\right)dy$
 $=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(dx)^2+2\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}dxdy+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(dy)^2$
귀납(induction)에 의하면
 $d^nf=\frac{\partial^n f}{\partial x^n}(dx)^n+\binom{n}{1}\frac{\partial^n f}{\partial x^{n-1}\partial y}(dx)^{n-1}dy+\cdots+\binom{n}{r}\frac{\partial^n f}{\partial x^{n-r}\partial y^r}(dx)^{n-r}(dy)^r+\cdots+\frac{\partial^n f}{\partial y^n}(dy)^n$
## chan man, de kee, kaloni advanced math

= 2차원일 경우 증명 =
$z=f(x,y)$ 가 주어졌다고 가정.
$z$ 의 '''전미분'''은 $x,y$ 가 변할 때 $z$ 의 변화량이므로,
 $dz=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)$
여기서 우변에 같은 걸 빼고 더한 뒤 정리한다.
 $dz=f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)+f(x,y+dy)-f(x,y)$
  $=[f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)]+[f(x,y+dy)-f(x,y)]$
  $=\frac{f(x+dx,y+dy)-f(x,y+dy)}{dx}dx+\frac{f(x,y+dy)-f(x,y)}{dy}dy$
  $=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$
  $=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$
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Compare: [[전미분,total_differential]] (MERGE?)

[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5868303&cid=64656&categoryId=64656 기상학백과: 전도함수 total derivative]]

Ndict:전미분

Up: [[미분,derivative]]