전미분,total_derivative (rev. 1.4)
이변수 함수
$\displaystyle u(x,y)=c$
의 전미분은$\displaystyle du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$
함수의 전미분
$\displaystyle df=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$
$\displaystyle u=f(x,y)$ 에서
변수 $\displaystyle x$ 가 $\displaystyle x$ 에서 $\displaystyle x+\Delta x$ 로,
변수 $\displaystyle y$ 가 $\displaystyle y$ 에서 $\displaystyle y+\Delta y$ 로 변하면,
함수값 $\displaystyle u$ 의 변화량 $\displaystyle du$ (전미분)은:
변수 $\displaystyle x$ 가 $\displaystyle x$ 에서 $\displaystyle x+\Delta x$ 로,
변수 $\displaystyle y$ 가 $\displaystyle y$ 에서 $\displaystyle y+\Delta y$ 로 변하면,
함수값 $\displaystyle u$ 의 변화량 $\displaystyle du$ (전미분)은:
$\displaystyle du=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy$
ex.$\displaystyle f(x,y)=xy^2+\sin x$
$\displaystyle df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$
ex.$\displaystyle df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$
$\displaystyle =(y^2+\cos x)dx+2xydy$
$\displaystyle f(x,y)=3x^2-6xy$
$\displaystyle df=(6x-6y)dx+(-6x)dy$
참고로, 만약$\displaystyle df=(6x-6y)dx+(-6x)dy$
$\displaystyle df=0$
이면$\displaystyle f(x,y)=3x^2-6xy=C$
즉 상수값이라는 것이다. (중요)이변수함수에서 $\displaystyle x\to x+\Delta x,\,y\to y+\Delta y$ 로 변할 때 $\displaystyle u$ 의 변화 $\displaystyle \Delta u$ 는
$\displaystyle \Delta u=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$
극한 $\displaystyle \Delta x\to 0,\,\Delta y \to 0$ 을 생각하면$\displaystyle =f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)+f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$
$\displaystyle du=df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$
Compare: 전미분,total_differential (MERGE?)
Up: 미분,derivative