Sub:
[[극좌표,polar_coordinate]]
[[좌표벡터,coordinate_vector]]
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See also main wiki: [[VG:좌표계,coordinate_system]] [[VG:극좌표,polar_coordinate]] [[VG:극좌표계,polar_coordinate_system]]
이하 '~계' suffix는 의도적으로 자제함.
Source: [[http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=324218 kocw]] 운동을 기술하는 방법 (2)

= 2D 직교좌표 = 
$(x,y)$
$\vec{r}=x\hat i+y\hat j$

= 극좌표 =
원통좌표의 바닥 원으로 볼 수 있음.
$(\rho,\phi)$
$\vec{r}=\rho\hat{\rho}+\phi\hat\phi$
근데 이차원에서는 뒤가 필요가 없고
$\vec{r}=\rho\hat{\rho}$
라고 한다?

= 이상 좌표에서 속도 =
직교좌표에선
$\vec{r}=x\hat i+y\hat j$
$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}$
 $=\frac{dx}{dt}\hat{i}+\frac{dy}{dt}\hat{j}$
이게 끝이지만
극좌표에선
$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}$
 $=\frac{d\rho}{dt}\hat{\rho}+\rho\frac{d\hat{\rho}}{dt}$
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잠깐 이 식의 + 오른쪽을 정리한다. 2D평면에서
 $\hat{\rho}=\hat{i}\cos\phi+\hat{j}\sin\phi$
 $\hat{\phi}=-\hat{i}\sin\phi+\hat{j}\cos\phi$
미분하면
 $\frac{d\hat{\rho}}{dt}=-\hat{i}\sin\phi\frac{d\phi}{dt}+\hat{j}\cos\phi\frac{d\phi}{dt}$
  $=(-\hat{i}\sin\phi+\hat{j}\cos\phi)\frac{d\phi}{dt}$
  여기서 놀랍게도 괄호 안이 간단히 되므로
  $=\hat{\phi}\frac{d\phi}{dt}$
따라서 결론은
 $\frac{d\hat{\rho}}{dt}=\hat{\phi}\frac{d\phi}{dt}$
마찬가지로
 $\frac{d\hat{\phi}}{dt}=-\hat{\rho}\frac{d\phi}{dt}$
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 $=\frac{d\rho}{dt}\hat{\rho}+\rho\frac{d\phi}{dt}\hat{\phi}$
 $=v_\rho\hat{\rho}+v_\phi\hat{\phi}$
따라서
 $v_\rho=\frac{d\rho}{dt}$
 $v_\phi=\rho\frac{d\phi}{dt}$

그리고, $\frac{d\phi}{dt}$ 는 [[VG:각속도,angular_velocity]] 또는 [[VG:각진동수,angular_frequency]]이다.

3D에선
$\vec{v}=\frac{d\rho}{dt}\hat{\rho}+\rho\frac{d\phi}{dt}\hat{\phi}+\frac{dz}{dt}\hat{k}$

= 가속도 =
위에서 유도한 다음 식을 활용.
 $\frac{d\hat{\rho}}{dt}=\hat{\phi}\frac{d\phi}{dt}$
 $\frac{d\hat{\phi}}{dt}=-\hat{\rho}\frac{d\phi}{dt}$

$\vec{a}=\frac{d^2\rho}{dt^2}\hat{\rho}+\frac{d\rho}{dt}\frac{d\hat{\rho}}{dt}+\frac{d\rho}{dt}\frac{d\phi}{dt}\hat{\phi}+\rho\frac{d^2\phi}{dt^2}\hat{\phi}+\rho\frac{d\phi}{dt}\frac{d\hat{\phi}}{dt}$
 $=\frac{d^2\rho}{dt^2}\hat{\rho}+\rho\frac{d\phi}{dt}\frac{d\hat{\phi}}{dt}+\frac{d\rho}{dt}\frac{d\hat{\rho}}{dt}+\frac{d\rho}{dt}\frac{d\phi}{dt}\hat{\phi}+\rho\frac{d^2\phi}{dt^2}\hat{\phi}$
 $=\left[\frac{d^2\rho}{dt^2}-\rho\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2\right]\hat{\rho}+\left[2\frac{d\rho}{dt}\frac{d\phi}{dt}+\rho\frac{d^2\phi}{dt^2}\right]\hat{\phi}$

그래서
$a_{\rho}=\frac{d^2\rho}{dt^2}-\rho\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2$
$a_\phi=2\frac{d\rho}{dt}\frac{d\phi}{dt}+\rho\frac{d^2\phi}{dt^2}$
$a_z=\frac{d^2z}{dt^2}$

= 3D 직교좌표 =
$\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat k$

= 원통좌표 (=3D 극좌표? 극좌표에 z만 더한 것?) =
$(\rho,\phi,z)$

$\vec{r}=\rho\hat{\rho}+z\hat{k}$

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$\vec{r}=r\hat{r}$

r방향의 단위벡터는
$\hat{r}=\hat{\rho}\sin\theta+\hat{k}\cos\theta$
 $=(\hat{i}\sin\theta\cos\phi+\hat{j}\sin\theta\sin\phi+\hat{k}\cos\theta)$
θ방향의 단위벡터는
$\hat{\theta}=\hat{\rho}\cos\theta-\hat{k}\sin\theta$
 $=\hat{i}\cos\theta\cos\phi+\hat{j}\cos\theta\sin\phi-\hat{k}\sin\theta$
φ방향의 단위벡터는
$\hat{\phi}=-\hat{i}\sin\phi+\hat{j}\cos\phi$

이상을 시간에 대해 미분하면

$\frac{d\hat{r}}{dt}=\hat{i}\cos\theta\cos\phi\frac{d\theta}{dt}-\hat{i}\sin\theta\sin\phi\frac{d\phi}{dt}+\hat{j}\cos\theta\sin\phi\frac{d\theta}{dt}+\hat{j}\sin\theta\cos\phi\frac{d\phi}{dt}-\hat{k}\sin\theta\frac{d\theta}{dt}$
 $=\hat{\theta}\frac{d\theta}{dt}+\hat{\phi}\sin\theta\frac{d\phi}{dt}$
$\frac{d\hat{\theta}}{dt}=-\hat{r}\frac{d\theta}{dt}+\hat{\phi}\cos\theta\frac{d\phi}{dt}$
$\frac{d\hat{\phi}}{dt}=-\hat{\rho}\frac{d\phi}{dt}$

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$\vec{r}=r\hat{r}$
$\vec{v}=\frac{dr}{dt}\hat{r}+r\frac{d\hat{r}}{dt}$
 $=\frac{dr}{dt}\hat{r}+r\frac{d\theta}{dt}\hat{\theta}+r\sin\theta\frac{d\phi}{dt}\hat{\phi}$

$v_r=\frac{dr}{dt}$
$v_\theta=r\frac{d\theta}{dt}$
$v_\phi=r\sin\theta\frac{d\phi}{dt}$

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// 운동을 기술하는 방법 (3) 42분
아무튼 결론은
 $\vec{r}=\rho\hat\rho$
 $\vec{v}=\frac{d\rho}{dt}\hat{\rho}+\rho\frac{d\phi}{dt}\hat\phi$
 $\vec{a}=\left[\frac{d^2\rho}{dt^2}-\rho\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2\right]\hat{\rho}+\left[2\frac{d\rho}{dt}\frac{d\phi}{dt}+\rho\frac{d^2\phi}{dt^2}\right]\hat{\phi}$
인데 이것을 dot notation으로 나타내면
 $\vec{v}=\dot\rho\hat\rho+\rho\dot\phi\hat\phi$
 $\vec{a}=(\ddot\rho-\rho\dot\phi^2)\hat\rho+(2\dot\rho\dot\phi+\rho\ddot\phi)\hat\phi$


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