최권휴_신호및선형시스템_2017


신호 및 선형시스템
영남대학교 최권휴
http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1263807


[edit]

1. 단어/용어의 주된 번역

response 응답 (반응 보다는)

[edit]

2. 1. Intro to System

[edit]

2.1. 선형시스템

임의의 입력 $\displaystyle f_1(t),f_2(t)$ 에 대한 시스템 X의 응답response(출력)이 각각 $\displaystyle y_1(t),y_2(t)$ 라 하자
$\displaystyle f_1(t)$─System X→$\displaystyle y_1(t)$
$\displaystyle f_2(t)$─System X→$\displaystyle y_2(t)$

아래 두 조건을 만족하면 "시스템 X는 선형적이다"라고 한다.
조건1$\displaystyle cf_1(t)$─System X→$\displaystyle cy_1(t)$
조건2$\displaystyle f_1(t)+f_2(t)$─System X→$\displaystyle y_1(t)+y_2(t)$
* $\displaystyle af_1(t)+bf_2(t)$─System X→$\displaystyle ay_1(t)+by_2(t)$
* : 두 조건을 결합하여 하나로 표현한 것
VG:선형성,linearity

입력이 n배이면 출력이 n배

[edit]

2.2. 1.2 System의 분류 : 예제 1.1

다음 식이 선형임을 보여라
$\displaystyle \frac{dy}{dt}+3y(t)=f(t)$

sol. 입력 $\displaystyle f_1,f_2$ 에 대한 시스템 응답이 각각 $\displaystyle y_1,y_2$ 로 가정

$\displaystyle \frac{dy_1}{dt}+3y_1(t)=f_1(t),$
$\displaystyle \frac{dy_2}{dt}+3y_2(t)=f_2(t)$
두 미방에 각각 $\displaystyle k_1,k_2$ 곱한 후 좌변끼리 그리고 우변끼리 각각 더함
$\displaystyle k_1\frac{dy_1}{dt}+3k_1y_1(t)=k_1f_1(t),$
$\displaystyle k_2\frac{dy_2}{dt}+3k_2y_2(t)=k_2f_2(t)$

$\displaystyle k_1\frac{dy_1}{dt}+k_2\frac{dy_2}{dt}+3k_1y_1(t)+3k_2y_2(t)=k_1f_1(t)+k_2f_2(t)$
$\displaystyle \frac{d}{dt}\left[ \underbrace{k_1y_1(t)+k_2y_2(t)}_{y(t)} \right] + 3[ \underbrace{k_1y_1(t)+k_2y_2(t)}_{y(t)} ] = \underbrace{k_1f_1(t)+k_2f_2(t)}_{f(t)}$

그러므로
입력이 $\displaystyle k_1f_1(t)+k_2f_2(t)$ 일 때, 시스템
응답은 $\displaystyle k_1y_1(t)+k_2y_2(t)$
따라서 선형이다.

[edit]

2.3. 1.2 System의 분류

[edit]

2.4. 시변 vs 시불변

시변 time-variant (혹은 variant 대신 varying)
시불변 time-invariant
시불변 시스템 : 시스템의 parameter가 시간의 변화에 무관한 system

위 분류는, 신호가/출력이 시간에 따라 변하는 것을 얘기하는 게 아님!!
주어가 시스템임.
시스템이 시불변이다? => 시간 t1일 때 입력 A를 집어넣어 출력 B가 나왔다면, 시간이 지난 후인 시간 t2일 때 입력 A를 집어넣어도 똑같이 출력 B가 나온다.
출력이 일정하다, 상수이다 그런 얘기가 아님

정확히 15분 쯤에 비디오가 짤림. 그래서 강의녹음은 포기하고 슬라이드만 받아적음.

[edit]

2.5. memoryless and memory

Instantaneous(memoryless) & dynamic(memory) system
memoryless : 입력이 인가되는 시간 t에서만 출력이 존재
memory : 과거 T 시간 동안의 입력에 의해 출력이 결정

먼저 영어사전에 의하면
cause /kɔːz/ n. 원인, 이유 v. 야기하다, 일으키다, 초래하다
causal / ˈkɔːzl/ adj. 인과 관계의

[edit]

2.6. causal and non-causal

인과적(causal) & 비인과적(non-causal)
causal system : $\displaystyle t=t_0$ 에서의 출력은 단지 $\displaystyle t\le t_0$ 의 입력 $\displaystyle f(t)$ 에 의해서만 결정되는 system. 즉, 그 출력이 입력에 선행하지 않는다.
non-causal system : 그 외, 실현 불가
realizable :
other than time ex) space charge .......... 뭔소리? Naver:space.charge Google:space.charge이거?
real time이 아닌 경우 ex) 녹음신호
delay 사용 실현 가능
$\displaystyle y(t)=f(t-2)+f(t+2)$
↓ delay 사용
$\displaystyle y(t)=y(t-2)=f(t-4)+f(t)$

[edit]

2.7. lumped-parameter and distributed-parameter

Lumped-parameter & Distributed-parameter
Lumped : 각 부품이 공간 내에서 한 덩어리라 생각함
Distributed : 그 외 ex) 안테나, 도파관 등

[edit]

2.8. 연속시간 and 이산시간

연속시간(continous time) & 이산시간(discrete time) 시스템
연속시간 시스템 : 연속시간 신호를 입출력으로 하는 시스템
이산시간 시스템 : 이산 시간에서만 정의되는 이산 시간 신호를 입력, 출력으로 가지는 시스템
ex. clock이 들어가는 것들.

시간간격 일정하다고 가정
$\displaystyle t_{k+1}-t_k=T$

[edit]

2.9. analog and digital

주의: analog=continuous, digital=discrete는 아님!! (관련은 있음)

Analog and Digital System

analog: 연속된 범위 내의 어떤 부분에서도 값을 가짐
digital: 유한개의 값에 대한
m-ary 신호 : m개의 값으로 진폭을 기술
binary 신호 : 두 개의 값으로 진폭을 기술

analog : continuous in time and amplitude
discrete : discrete in time and continuous in amplitude
digital : discrete in time and amplitude
내가 번역하면
analog : 시간 연속, 진폭 연속
discrete : 시간 이산, 진폭 연속
digital : 시간 이산, 진폭 이산
표로 만들면
in time in amplitude
아날로그 연속적 연속적
이산 이산적 연속적
디지털 이산적 이산적

[edit]

3. 1. 시간영역 해석, 연속 시간 시스템 ... 단위 임펄스 함수

영입력 zero input
영상태 zero state


시스템 응답 = 영입력 응답 + 영상태 응답

영입력 응답 : 입력 $\displaystyle f(t)=0$ 일 때 시스템 내부상태에 의한 시스템 응답
영상태 응답 : 시스템이 영상태일 때의 외부입력 $\displaystyle f(t)$ 에 대한 응답
영상태 시스템은 $\displaystyle f(t)$ 가 없을 때에는 어떤 응답도 발생시키지 않음

[edit]

3.1. 단위 임펄스 함수

TODO 나중에 VG를 링크. [http]임펄스 검색
.. 설명 보니 VG:디랙_델타함수,Dirac_delta_function랑 똑같은데?

$\displaystyle \delta(t)=\begin{cases}\infty & t=0 \\ 0 & t\ne 0\end{cases}$
$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1$

[edit]

3.2. 임펄스와 임의함수의 곱 6:22

$\displaystyle f(t)\delta(t-T)=f(T)\delta(t-T)$
t-T는 T만큼 shift된.
δ(t-T)는 T만큼 shift된 impulse 함수.
t=T를 제외한 t들에서는 함수값이 0과 곱해지므로, 0이 되어버린다는 것을 기억.

https://i.imgur.com/eo72jmB.png


[edit]

3.3. 임펄스와 임의함수의 곱의 적분

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-T)dt$
$\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty}f(T)\delta(t-T)dt$
$\displaystyle =f(T)\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-T)dt$
$\displaystyle =f(T)$

해석하면,
어떤 함수와 임펄스의 곱의 적분은 단위 임펄스가 위치하는 시점에서의 함수 값이다.
⇔
어떤 함수의 T지점을 샘플하기 위해서는 T지점에 위치하는 임펄스를 곱하여 적분한다.

[edit]

4. 2. 임펄스 응답 과 컨볼루션 - 임펄스 응답, 컨볼루션 적분

2.3 임펄스 응답과 convolution

표기: 입력이 $\displaystyle x(t)$ 일 때 선형시스템의 출력을 $\displaystyle \ell[x(t)]$ 로 표기하자

임펄스 응답(impulse response)
정의 : 어떤 선형시스템에 임펄스 $\displaystyle \delta(t)$ 를 입력했을 때의 출력
표기 : $\displaystyle h(t)$
$\displaystyle \delta(t) \to \fbox{\textrm{linear system, }\ell[\cdot]} \to h(t)$
$\displaystyle h(t)=\ell[\delta(t)]$
(임펄스가 들어갔을 때의 출력)을 줄여서 (임펄스 응답)이라 하는 것임

그래서 기호를 정리하면,
$\displaystyle \ell$ : linear system operator
$\displaystyle \delta$ : impulse
$\displaystyle h$ : impulse response

일반적인 입력 $\displaystyle x(t)$ 에 대한 선형시스템의 출력

  • 먼저 다음과 같이 입력을 바꾸어 쓸 수 있다.
    $\displaystyle x(t)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(x-\tau)d\tau$
    • δ는 좌우대칭이므로 δ(t-τ)=δ(τ-t)

  • 시스템의 출력은 $\displaystyle y(t)=\ell[x(t)]$ 로 나타낼 수 있으므로 대입하며(여?)
    $\displaystyle y(t)=\ell[x(t)]$
    $\displaystyle =\ell\left[\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau\right]$
    • 위 적분식은 선형이므로 $\displaystyle \ell$ 이 ∫ 안에 들어갈 수 있음
    선형시스템 통과해서 적분한거랑, 적분해서 선형시스템 통과한거랑 같으니까
    $\displaystyle =\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}\ell[x(\tau)\delta(t-\tau)]d\tau$
    $\displaystyle =\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\ell[\delta(t-\tau)]d\tau$

위에서
$\displaystyle \ell[\delta(t-\tau)]$ 는 지연된 임펄스에 대한 시스템 출력이므로 시불변에 의해
$\displaystyle \ell[\delta(t-\tau)]=h(t-\tau)$ 임. 이를 대입하면
시스템 출력 $\displaystyle y(t)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d\tau$

위의 적분을 $\displaystyle x(t)$ 와 $\displaystyle h(t)$ 의 convolution(적분)이라 부르며, 간단히 아래와 같이 연산자 *를 써 나타낸다.
$\displaystyle y(t)=x(t)*h(t)$

system을 통과한다는 것은, 그 system의 impulse response와 convolution한다는 것과 같은 얘기다. 수학적으로.

[edit]

4.1. 콘벌루션 적분

ex)
$\displaystyle f_1(t)*f_2(t)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau) f_2(t-\tau) d\tau$

성질
1. 교환성 commutative
$\displaystyle f_1(t)*f_2(t)=f_2(t)*f_1(t)$
sol)
$\displaystyle =\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau)*f_2(t-\tau)d\tau$
$\displaystyle x=t-\tau,\;\; \tau=t-x,\;\; d\tau=-dx$
$\displaystyle =-\int\nolimits_{\infty}^{-\infty}f_2(x)f_1(t-x)dx$
$\displaystyle =\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}f_2(x)f_1(t-x)dx$
$\displaystyle =f_2(t)*f_1(t)$

2. 분배성 distributive
$\displaystyle f_1(t)*[f_2(t)+f_3(t)]=f_1(t)*f_2(t)+f_1(t)*f_3(t)$

3. 결합성 associative
$\displaystyle f_1(t)*[f_2(t)*f_3(t)]=[f_1(t)*f_2(t)]*f_3(t)$

4. 추이성 (shift property)
$\displaystyle f_1(t)*f_2(t)=C(t)$ 일 때
$\displaystyle f_1(t)*f_2(t-T)=C(t-T)$
$\displaystyle f_1(t-T)*f_2(t)=C(t-T)$
$\displaystyle f_1(t-T_1)*f_2(t-T_2)=C(t-T_1-T_2)$
proof)
$\displaystyle f_1(t)*f_2(t)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau=C(t)$
$\displaystyle f_1(t)*f_2(t-T)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau)f_2(t-T-\tau)d\tau =C(t-T)$

convolution operator는 시불변이다. time-invariant이다.

5. impulse와의 convolution
$\displaystyle f(t)*\delta(t)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau=f(t)$

6. 폭(width)
$\displaystyle \left.\begin{matrix} f_1(t)\to T_1,\\ f_2(t)\to T_2\end{matrix}\right\rbrace f_1(t)\ast f_2(t)\to T_1+T_2$

합성곱,convolution

[edit]

5. 2. 컨볼루션 적분

최권휴_신호및선형시스템_2017 Modified on 12:27 pm, November 5, 2023.
🎲 Random