#noindex Up: [[OnlineLectures]] 신호 및 선형시스템 영남대학교 최권휴 http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1263807 <> = 단어/용어의 주된 번역 = response 응답 (반응 보다는) = 1. Intro to System = == 선형시스템 == 임의의 입력 $f_1(t),f_2(t)$ 에 대한 시스템 X의 응답response(출력)이 각각 $y_1(t),y_2(t)$ 라 하자 ||$f_1(t)$||─System X→||$y_1(t)$|| ||$f_2(t)$||─System X→||$y_2(t)$|| 아래 두 조건을 만족하면 "시스템 X는 선형적이다"라고 한다. ||조건1||$cf_1(t)$||─System X→||$cy_1(t)$|| ||조건2||$f_1(t)+f_2(t)$||─System X→||$y_1(t)+y_2(t)$|| ||* ||$af_1(t)+bf_2(t)$||─System X→||$ay_1(t)+by_2(t)$|| * : 두 조건을 결합하여 하나로 표현한 것 [[VG:선형성,linearity]] 입력이 n배이면 출력이 n배 == 1.2 System의 분류 : 예제 1.1 == 다음 식이 선형임을 보여라 $\frac{dy}{dt}+3y(t)=f(t)$ sol. 입력 $f_1,f_2$ 에 대한 시스템 응답이 각각 $y_1,y_2$ 로 가정 $\frac{dy_1}{dt}+3y_1(t)=f_1(t),$ $\frac{dy_2}{dt}+3y_2(t)=f_2(t)$ 두 미방에 각각 $k_1,k_2$ 곱한 후 좌변끼리 그리고 우변끼리 각각 더함 $k_1\frac{dy_1}{dt}+3k_1y_1(t)=k_1f_1(t),$ $k_2\frac{dy_2}{dt}+3k_2y_2(t)=k_2f_2(t)$ $k_1\frac{dy_1}{dt}+k_2\frac{dy_2}{dt}+3k_1y_1(t)+3k_2y_2(t)=k_1f_1(t)+k_2f_2(t)$ $\frac{d}{dt}\left[ \underbrace{k_1y_1(t)+k_2y_2(t)}_{y(t)} \right] + 3[ \underbrace{k_1y_1(t)+k_2y_2(t)}_{y(t)} ] = \underbrace{k_1f_1(t)+k_2f_2(t)}_{f(t)}$ 그러므로 입력이 $k_1f_1(t)+k_2f_2(t)$ 일 때, 시스템 응답은 $k_1y_1(t)+k_2y_2(t)$ 따라서 선형이다. == 1.2 System의 분류 == == 시변 vs 시불변 == 시변 time-variant (혹은 variant 대신 varying) 시불변 time-invariant 시불변 시스템 : 시스템의 parameter가 시간의 변화에 무관한 system ''위 분류는, 신호가/출력이 시간에 따라 변하는 것을 얘기하는 게 아님!!'' 주어가 시스템임. 시스템이 시불변이다? => 시간 t1일 때 입력 A를 집어넣어 출력 B가 나왔다면, 시간이 지난 후인 시간 t2일 때 입력 A를 집어넣어도 똑같이 출력 B가 나온다. ''출력이 일정하다, 상수이다 그런 얘기가 아님'' ---- '''''정확히 15분 쯤에 비디오가 짤림.''''' 그래서 강의녹음은 포기하고 슬라이드만 받아적음. == memoryless and memory == Instantaneous(memoryless) & dynamic(memory) system memoryless : 입력이 인가되는 시간 t에서만 출력이 존재 memory : 과거 T 시간 동안의 입력에 의해 출력이 결정 ---- 먼저 영어사전에 의하면 cause /kɔːz/ n. 원인, 이유 v. 야기하다, 일으키다, 초래하다 causal / ˈkɔːzl/ adj. 인과 관계의 == causal and non-causal == 인과적(causal) & 비인과적(non-causal) causal system : $t=t_0$ 에서의 출력은 단지 $t\le t_0$ 의 입력 $f(t)$ 에 의해서만 결정되는 system. 즉, 그 출력이 입력에 선행하지 않는다. non-causal system : 그 외, 실현 불가 realizable : other than time ex) space charge .......... 뭔소리? Naver:space.charge Google:space.charge 이거? real time이 아닌 경우 ex) 녹음신호 delay 사용 실현 가능 $y(t)=f(t-2)+f(t+2)$ ↓ delay 사용 $y(t)=y(t-2)=f(t-4)+f(t)$ == lumped-parameter and distributed-parameter == Lumped-parameter & Distributed-parameter Lumped : 각 부품이 공간 내에서 한 덩어리라 생각함 Distributed : 그 외 ex) 안테나, 도파관 등 == 연속시간 and 이산시간 == 연속시간(continous time) & 이산시간(discrete time) 시스템 연속시간 시스템 : 연속시간 신호를 입출력으로 하는 시스템 이산시간 시스템 : 이산 시간에서만 정의되는 이산 시간 신호를 입력, 출력으로 가지는 시스템 ex. clock이 들어가는 것들. 시간간격 일정하다고 가정 $t_{k+1}-t_k=T$ == analog and digital == ''주의: analog=continuous, digital=discrete는 아님!! (관련은 있음)'' Analog and Digital System analog: 연속된 범위 내의 어떤 부분에서도 값을 가짐 digital: 유한개의 값에 대한 m-ary 신호 : m개의 값으로 진폭을 기술 binary 신호 : 두 개의 값으로 진폭을 기술 analog : continuous in time and amplitude discrete : discrete in time and continuous in amplitude digital : discrete in time and amplitude ''내가 번역하면'' analog : 시간 연속, 진폭 연속 discrete : 시간 이산, 진폭 연속 digital : 시간 이산, 진폭 이산 ''표로 만들면'' || ||in time ||in amplitude || ||아날로그 ||연속적 ||연속적 || ||이산 ||이산적 ||연속적 || ||디지털 ||이산적 ||이산적 || = 1. 시간영역 해석, 연속 시간 시스템 ... 단위 임펄스 함수 = 영입력 zero input 영상태 zero state 시스템 응답 = 영입력 응답 + 영상태 응답 영입력 응답 : 입력 $f(t)=0$ 일 때 시스템 내부상태에 의한 시스템 응답 영상태 응답 : 시스템이 영상태일 때의 외부입력 $f(t)$ 에 대한 응답 영상태 시스템은 $f(t)$ 가 없을 때에는 어떤 응답도 발생시키지 않음 == 단위 임펄스 함수 == TODO 나중에 VG를 링크. [[http://tomoyo.ivyro.net/123/wiki.php/asdf?action=fullsearch&value=%EC%9E%84%ED%8E%84%EC%8A%A4&context=20&case=1 임펄스 검색]] .. 설명 보니 [[VG:디랙_델타함수,Dirac_delta_function]]랑 똑같은데? $\delta(t)=\begin{cases}\infty & t=0 \\ 0 & t\ne 0\end{cases}$ $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1$ == 임펄스와 임의함수의 곱 6:22 == $f(t)\delta(t-T)=f(T)\delta(t-T)$ ''t-T는 T만큼 shift된.'' ''δ(t-T)는 T만큼 shift된 impulse 함수.'' ''t=T를 제외한 t들에서는 함수값이 0과 곱해지므로, 0이 되어버린다는 것을 기억.'' https://i.imgur.com/eo72jmB.png == 임펄스와 임의함수의 곱의 적분 == $\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-T)dt$ $=\int_{-\infty}^{\infty}f(T)\delta(t-T)dt$ $=f(T)\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-T)dt$ $=f(T)$ 해석하면, 어떤 함수와 임펄스의 곱의 적분은 단위 임펄스가 위치하는 시점에서의 함수 값이다. ⇔ 어떤 함수의 T지점을 샘플하기 위해서는 T지점에 위치하는 임펄스를 곱하여 적분한다. = 2. 임펄스 응답 과 컨볼루션 - 임펄스 응답, 컨볼루션 적분 = 2.3 임펄스 응답과 convolution 표기: 입력이 $x(t)$ 일 때 선형시스템의 출력을 $\ell[x(t)]$ 로 표기하자 임펄스 응답(impulse response) 정의 : 어떤 선형시스템에 임펄스 $\delta(t)$ 를 입력했을 때의 출력 표기 : $h(t)$ $\delta(t) \to \fbox{\textrm{linear system, }\ell[\cdot]} \to h(t)$ $h(t)=\ell[\delta(t)]$ ''(임펄스가 들어갔을 때의 출력)을 줄여서 (임펄스 응답)이라 하는 것임'' ---- ''그래서 기호를 정리하면,'' $\ell$ : ''linear system operator'' $\delta$ : ''impulse'' $h$ : ''impulse response'' ---- 일반적인 입력 $x(t)$ 에 대한 선형시스템의 출력 * 먼저 다음과 같이 입력을 바꾸어 쓸 수 있다. $x(t)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(x-\tau)d\tau$ ''δ는 좌우대칭이므로 δ(t-τ)=δ(τ-t)'' * 시스템의 출력은 $y(t)=\ell[x(t)]$ 로 나타낼 수 있으므로 대입하며(여?) $y(t)=\ell[x(t)]$ $=\ell\left[\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau\right]$ ''위 적분식은 선형이므로 $\ell$ 이 ∫ 안에 들어갈 수 있음'' ''선형시스템 통과해서 적분한거랑, 적분해서 선형시스템 통과한거랑 같으니까'' $=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}\ell[x(\tau)\delta(t-\tau)]d\tau$ $=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\ell[\delta(t-\tau)]d\tau$ 위에서 $\ell[\delta(t-\tau)]$ 는 지연된 임펄스에 대한 시스템 출력이므로 시불변에 의해 $\ell[\delta(t-\tau)]=h(t-\tau)$ 임. 이를 대입하면 시스템 출력 $y(t)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d\tau$ 위의 적분을 $x(t)$ 와 $h(t)$ 의 convolution(적분)이라 부르며, 간단히 아래와 같이 연산자 *를 써 나타낸다. $y(t)=x(t)*h(t)$ ''system을 통과한다는 것은, 그 system의 impulse response와 convolution한다는 것과 같은 얘기다. 수학적으로.'' == 콘벌루션 적분 == ex) $f_1(t)*f_2(t)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau) f_2(t-\tau) d\tau$ 성질 1. 교환성 commutative $f_1(t)*f_2(t)=f_2(t)*f_1(t)$ sol) $=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau)*f_2(t-\tau)d\tau$ $x=t-\tau,\;\; \tau=t-x,\;\; d\tau=-dx$ $=-\int\nolimits_{\infty}^{-\infty}f_2(x)f_1(t-x)dx$ $=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}f_2(x)f_1(t-x)dx$ $=f_2(t)*f_1(t)$ 2. 분배성 distributive $f_1(t)*[f_2(t)+f_3(t)]=f_1(t)*f_2(t)+f_1(t)*f_3(t)$ 3. 결합성 associative $f_1(t)*[f_2(t)*f_3(t)]=[f_1(t)*f_2(t)]*f_3(t)$ 4. 추이성 (shift property) $f_1(t)*f_2(t)=C(t)$ 일 때 $f_1(t)*f_2(t-T)=C(t-T)$ $f_1(t-T)*f_2(t)=C(t-T)$ $f_1(t-T_1)*f_2(t-T_2)=C(t-T_1-T_2)$ proof) $f_1(t)*f_2(t)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau=C(t)$ $f_1(t)*f_2(t-T)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau)f_2(t-T-\tau)d\tau =C(t-T)$ ''convolution operator는 시불변이다. time-invariant이다.'' 5. impulse와의 convolution $f(t)*\delta(t)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau=f(t)$ 6. 폭(width) $\left.\begin{matrix} f_1(t)\to T_1,\\ f_2(t)\to T_2\end{matrix}\right\rbrace f_1(t)\ast f_2(t)\to T_1+T_2$ [[합성곱,convolution]] = 2. 컨볼루션 적분 =