(a)
미분방정식
$\displaystyle y'=f(x)$
의 해는,
$\displaystyle y=\int f(x)dx$
이것은 고등학교 때 배움.
(b)
$\displaystyle y'=y$
$\displaystyle y=ce^x$
easy
(c)
$\displaystyle y'=ay$
$\displaystyle y=ce^{ax}$
easy
(d)
$\displaystyle y'=ay+b$
sol. (i)
$\displaystyle y'=a(y+\frac{b}a)$
$\displaystyle Y=y+\frac{b}a$
$\displaystyle Y'=aY$
sol. (ii)
$\displaystyle y'+(-a)y=b$
$\displaystyle e^{-ax}y'+(-a)e^{-ax}y=be^{-ax}$
좌변은 $\displaystyle =(e^{-ax}y)'$
$\displaystyle e^{-ax}y=-\frac{b}{a}e^{-ax}+c$
$\displaystyle y=-\frac{b}a+ce^{ax}$
(e)
$\displaystyle y'=ay+b(x)$
(d)의 (i)방식으로는 너무 복잡해진다.
(d)의 (ii)방식으로 하면,
$\displaystyle e^{-ax}y'-ae^{-ax}y=b(x)e^{-ax}$
좌변은 $\displaystyle =(e^{-ax}y)'$
$\displaystyle y=e^{ax}\int b(x)e^{-ax}dx$
(f) 가장 일반적인 형태
$\displaystyle y'=a(x)y+b(x)$ or
$\displaystyle y'+a(x)y=b(x)$
$\displaystyle e^{\int a(x)dx}$ 를 곱하면
$\displaystyle e^{\int a(x)dx}y'+a(x)e^{\int a(x)dx}y=b(x)e^{\int a(x)dx}$
좌변이 $\displaystyle \left[e^{\int a(x)dx}y\right]'$
$\displaystyle e^{\int a(x)dx}y=\int\left[b(x)e^{\int a(x)dx}\right]dx$
$\displaystyle y=e^{-\int a(x)dx}\int\left[b(x)e^{\int a(x)dx}\right]dx$