Up: [[미분방정식,differential_equation]] [[TableOfContents]] = Linear first-order ODE = from 최정환 https://www.youtube.com/watch?v=J2FJVHchcu4&list=PLL3t9Nt4HrfvpCtvSnkH6Uw0rr169Pzkv&index=23 (a) 미분방정식 $y'=f(x)$ 의 해는, $y=\int f(x)dx$ 이것은 고등학교 때 배움. (b) $y'=y$ $y=ce^x$ easy (c) $y'=ay$ $y=ce^{ax}$ easy (d) $y'=ay+b$ sol. (i) $y'=a(y+\frac{b}a)$ $Y=y+\frac{b}a$ $Y'=aY$ sol. (ii) $y'+(-a)y=b$ $e^{-ax}y'+(-a)e^{-ax}y=be^{-ax}$ 좌변은 $=(e^{-ax}y)'$ $e^{-ax}y=-\frac{b}{a}e^{-ax}+c$ $y=-\frac{b}a+ce^{ax}$ (e) $y'=ay+b(x)$ (d)의 (i)방식으로는 너무 복잡해진다. (d)의 (ii)방식으로 하면, $e^{-ax}y'-ae^{-ax}y=b(x)e^{-ax}$ 좌변은 $=(e^{-ax}y)'$ $y=e^{ax}\int b(x)e^{-ax}dx$ (f) 가장 일반적인 형태 $y'=a(x)y+b(x)$ or $y'+a(x)y=b(x)$ $e^{\int a(x)dx}$ 를 곱하면 $e^{\int a(x)dx}y'+a(x)e^{\int a(x)dx}y=b(x)e^{\int a(x)dx}$ 좌변이 $\left[e^{\int a(x)dx}y\right]'$ $e^{\int a(x)dx}y=\int\left[b(x)e^{\int a(x)dx}\right]dx$ $y=e^{-\int a(x)dx}\int\left[b(x)e^{\int a(x)dx}\right]dx$ = Exact equation = $y'=f(x,y)=\frac{-M(x,y)}{N(x,y)}$ $\Leftrightarrow M(x,y)+N(x,y)y'=0$ $\Leftrightarrow M(x,y)+N(x,y)\frac{dy}{dx}=0$ $\Leftrightarrow M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ is exact if $\exists F(x,y)$ such that $F_x=M$ and $F_y=N$ ---- Thm. If $M,N,M_y,N_x$ are all continuous, then $Mdx+Ndy=0$ is exact iff $M_y=N_x$ . Pf. $\exists F$ s.t. $F_x=M,F_y=N$ $M_y=F_{xy}=F_{yx}=N_x$ suppose $M_y=N_x$ 포기... https://www.youtube.com/watch?v=brZjGvnsNBo&index=24&list=PLL3t9Nt4HrfvpCtvSnkH6Uw0rr169Pzkv https://www.youtube.com/watch?v=QQlmSfBmTQg&list=PLL3t9Nt4HrfvpCtvSnkH6Uw0rr169Pzkv&index=27 = Constant coefficient Second order linear ODE = 2nd order linear homogeneous equation with constant coefficients $Ay''+By'+Cy=0$ (A,B,C 상수) $y=e^{\lambda x},$ λ 상수 $y'=\lambda e^{\lambda x}$ $y''=\lambda^2 e^{\lambda x}$ 그러면 본 식은 $A\lambda^2 e^{\lambda x}+B\lambda e^{\lambda x}+Ce^{\lambda x}=0$ $(A\lambda^2+B\lambda+C)e^{\lambda x}=0$ 왼쪽의 $(A\lambda^2+B\lambda+C)$ 을 characteristic equation이라 함. Google:특성+방정식 Google:characteristic+equation+differential case 1. $B^2-4AC>0$ 이차방정식이 두 실근 $\lambda_1\ne\lambda_2$ 를 가진다. 생략.. = Variable coefficient Second order linear ODE = https://www.youtube.com/watch?v=nWP0AvG1Yqg&list=PLL3t9Nt4HrfvpCtvSnkH6Uw0rr169Pzkv&index=28 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ Suppose a solution $y_1$ is given. Let $y_2=y_1v(x),\;v(x)\ne C$ Put $y_2=y_1v(x)$ into the given equation. $(y_1v)''+P(y_1v)'+qy_1v=0$ $(y_1v)'=y_1'v+y_1v'$ $(y_1v){' '}=y_1{' '}v+2y_1'v'+y_1v{' '}$ 이하skip = Variation of parameter과 second order linear ODE의 적용 = https://www.youtube.com/watch?v=DwFams7Bf-Y&list=PLL3t9Nt4HrfvpCtvSnkH6Uw0rr169Pzkv&index=29 = Harmonic Oscillation, Resonance = 스프링 진동, 공명현상 https://www.youtube.com/watch?v=orcpf9AclxM&list=PLL3t9Nt4HrfvpCtvSnkH6Uw0rr169Pzkv&index=30 = First and second order linear ODE = First order ODE의 해법 2계 선형 상미분 방정식의 수리적 해석 https://www.youtube.com/watch?v=UYvnJDhAUt0&index=31&list=PLL3t9Nt4HrfvpCtvSnkH6Uw0rr169Pzkv = Existence and Uniqueness Theorem = 존재성과 유일성의 정리 https://www.youtube.com/watch?v=lRLVgxLElRo&index=32&list=PLL3t9Nt4HrfvpCtvSnkH6Uw0rr169Pzkv = Laplace transform 1 = 라프라스 변환에 의한 미분방정식의 해법 https://www.youtube.com/watch?v=vVMpdJZOJYs&list=PLL3t9Nt4HrfvpCtvSnkH6Uw0rr169Pzkv&index=33 = Laplace transform 2 = 라프라스 변환에 의한 미분방정식의 해법 https://www.youtube.com/watch?v=mnot36E8_Zw&index=34&list=PLL3t9Nt4HrfvpCtvSnkH6Uw0rr169Pzkv = Laplace transform 3 = 라프라스 변환에 의한 미분방정식의 해법 = Laplace transform 4 = 라프라스 변환에 의한 미분방정식의 해법 Delta function, Heavyside function, Convolution 델타함수, 헤비사이드 함수의 응용과 콘볼루숀에 의한 미분방정식에 대한 해법 Numerical ODE 1 수치적 방법에 의한 미분방정식의 해법 Numerical ODE 2 수치적 방법에 의한 미분방정식의 해법 Numerical ODE 3 수치적 방법에 의한 미분방정식의 해법 Numerical ODE 4 수치적 방법에 의한 미분방정식의 해법