정리 ¶
$\displaystyle u=g(x)$ 가 미분가능하고, $\displaystyle f(x)$ 가 연속이면:
$\displaystyle \int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$
증명 ¶
$\displaystyle F(x)$ 가 $\displaystyle f(x)$ 의 한 역도함수(적분)라고 하면 연쇄법칙에 의해
$\displaystyle \frac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x)$
이다. $\displaystyle u=g(x)$ 로 두고 $\displaystyle x$ 에 관해서 xxxx를 적분하면,$\displaystyle \int f(g(x))g'(x)dx=\int\frac{d}{dx}F(g(x))dx=F(g(x))+C=F(u)+C=\int f(u)du$
(???)