Related:
 [[수렴,convergence]] vs [[발산,divergence]]
 [[급수,series]]

[[TableOfContents]]

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from http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1164214 2.

= 기하급수 =
$\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}$ 의 값은
 $-1 \lt r \lt 1$ 일 때
  $\frac{a}{1-r}$
 otherwise
  [[발산,divergence]]

= p-급수 =
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}$
 p>1: 수렴
 p≤1: 발산

= 조화급수 =

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= 비교판정법 comparison test =
예:
 $\sum_{n=1}^\infty \frac4{3n^2+n+1}$ 은 수렴한다.
이유:
 $0<\frac4{3n^2+n+1}<\frac4{3n^2}$ 이고
 $\sum \frac4{3n^2}=\frac43 \sum \frac1{n^2}$ 은 수렴한다. $p=2>1$ 인 p급수이므로.
 따라서 비교판정법에 의해 주어진 급수는 수렴한다.

= 극한비교판정법,limit_comparison_test =
$\forall n,\; a_n>0,\;b_n>0$ 이고
 $\lim_{n\to\infty}{a_n\over b_n}=c>0$
이면 두 급수
 $\sum a_n,\,\sum b_n$
은 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.

이유: 충분히 큰 $n$ 에 대해 적당한 자연수 $N$ 이 존재하여 $n\ge N$ 일 때 $a_n\approx cb_n$ 이므로
 $\sum_{n=N}^{\infty}a_n \approx \sum_{n=N}^{\infty}cb_n = c\sum_{n=N}^{\infty}b_n$
이다. (직관적 설명이고 엄밀한 증명은 아님)

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예:
 $\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2-n+1}$
이건 비교판정법으로 안된다고 함.

증명:
 $a_n=\frac1{n^2-n+1},\;b_n=\frac1{n^2}$
이라 하면
 $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}$
 $=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{n^2-n+1}}{\frac1{n^2}}$
 $=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2-n+1}$
 $=\lim_{n\to\infty}\frac1{1-\frac1n+\frac1{n^2}}=1>0$
이고
 $\sum b_n=\sum \frac1{n^2}$ 은 수렴 ( $p=2>1$ 인 p급수 )
하므로 극한비교판정법에 의해
 $\sum\frac1{n^2-n+1}=\sum a_n$
은 수렴한다.

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예:
 $\sum_{n=1}^{\infty}(2^{\frac1n}-1)$ 의 수렴/발산을 판정하라.
sol.
 $\lim_{n\to\infty}\frac{2^{\frac1n}-1}{\frac1n}$ ........ $t=\frac1n$ 치환
 $=\lim_{t\to 0+}\frac{2^t-1}{t}$
 $=\lim_{t\to 0+}\frac{2^t-2^0}{t-0}$ ..... $f(t)=2^t$ 라면 주어진 식이 $f'(0)$ 이고 $f'(t)=2^t\ln2$ 이므로
 $=\ln2>0$
이고 $\sum\frac1n$ 이 발산 ( $p=1\le1$ 인 p급수 ) 하므로, 극한비교판정법에 의하여
 $\sum(2^{\frac1n}-1)$
은 발산한다.

= 교대급수판정법 =
교대급수
 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n=b_1-b_2+b_3-b_4+\cdots\;\;(b_n>0)$
이 두 조건
 (i) 모든 $n$ 에 대해 $b_{n+1}\le b_n$
 (ii) $\lim_{n\to\infty}b_n=0$
을 만족하면, 급수
 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n$
은 수렴한다.

= 비율판정법 ratio_test =
(i)
 $\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L<1$ 이면
 $\sum a_n$ 은 절대수렴한다. (see [[수렴,convergence]])
 (따라서 Σa,,n,,은 수렴한다.)
(ii)
 $\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L>1$ 이거나 $\infty$ 이면
 $\sum a_n$ 은 발산한다.
(iii)
 $\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$ 이면
 $\sum a_n$ 은 수렴할수도 있고 발산할수도 있다.
 (i.e. 비판정법으로는 판정불가)

pf.
(i) $n$ 이 크면, 즉 적당한 자연수 $N$ 이 존재하여 $n\ge N$ 이면
 $|a_{n+1}|\approx L|a_n|\;(0\le L < 1)$ 이므로
 $|a_{N+1}|\approx L|a_N|,$
 $|a_{N+2}|\approx L|a_{N+1}|\approx L^2|a_N|,\;\cdots$
 $|a_{N+k}|\approx L^k|a_N|,\;\cdots$
이므로
 $\sum_{n=N}^{\infty}|a_n|$ 은 기하급수형태이고 $0\le L<1$ 이므로
 $\sum_{n=N}^{\infty}|a_n|$ 은 수렴한다. 따라서
 $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ 은 수렴한다.

(ii) $L>1$ or $L=\infty$ 이면, 충분히 큰 $N$ 에 대해 $n\ge N$ 일 때
 $|a_{n+1}|>|a_n|$
이므로
 $\lim_{n\to\infty}|a_n|\ne0$ 이다.
따라서
 $\lim_{n\to\infty}a_n\ne0$ 이다.
따라서
 $\sum a_n$ 은 발산한다. (<= 발산판정법)

(iii)
 $a_n=\frac1n \;\Rightarrow\; \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{n+1}}{\frac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1$
이며 $\sum a_n$ 은 발산한다.
 $a_n=\frac1{n^2} \;\Rightarrow\; \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{(n+1)^2}}{\frac1{n^2}}=1$
이며 $\sum a_n$ 은 수렴한다.

== 비율판정법의 예 ==
ex.
 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}$ 은 수렴한다.
pf.
 $a_n=\frac{n!}{n^n}$ 이라 하면
 $\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}$
 $=\lim \frac{n^n (n+1)!}{(n+1)^{n+1} n!}$
 $=\lim \frac{n^n}{(n+1)^n}$
 $=\lim\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$
 $=\lim\left(\frac{n+1}{n}\right)^{-n}$
 $=\lim\left(1+\frac1n\right)^{-n}$
 $=\lim\frac1{\left(1+\frac1n\right)^n}=\frac1e<1$

ex.
 $\sum(-1)^n\frac{n^2}{2^n}$ 은 절대수렴한다.
pf.
 $\lim\left|\frac{(-1)^{n+1}\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}}{(-1)^n\frac{n^2}{2^n}}\right|$
 $=\lim\frac{(n+1)^22^n}{n^22^{n+1}}$
 $=\lim\frac{n^2+2n+1}{2n^2}=\frac12<1$

ex.
 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^3}$ 은 발산한다.
pf
 $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{3^{n+1}}{(n+1)^3}}{\frac{3^n}{n^3}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{n^33^{n+1}}{(n+1)^33^n}=3>1$
이므로 비율판정법에 의하여 주어진 급수는 발산한다.

= 거듭제곱근 판정법 =
(i)
 $\lim\sqrt[n]{|a_n|}=L<1$ 이면 $\sum a_n$ 은 절대수렴
(ii)
 $\lim\sqrt[n]{|a_n|}=L>1$ 이거나 $\infty$ 면 $\sum a_n$ 은 발산
(iii)
 $\lim\sqrt[n]{|a_n|}=1$ 이면 판정불가

ex.
 $\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{n+1}{2n+1} \right )^n$ 은 수렴한다.
pf.
 $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\left( \frac{n+1}{2n+1}\right )^n\right|}$
 $=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left( \frac{n+1}{2n+1}\right )^n}$
 $=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n+1}=\frac12<1$
이므로 거듭제곱근판정법에 의하여 주어진 급수는 수렴한다.

= (수열 말고) 함수 관련 판정법 =
''moved to [[VG:판정법,test]]''

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see also [[VG:수렴판정법,convergence_test]]
source: http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1269664 판정법관련단원