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Dual: [[코호몰로지,cohomology]] ?
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Sub:
[[simplicial_homology]] - curr at [[심플렉스,simplex?action=highlight&value=simplicial_homology]] - rel [[심플렉스,simplex]]
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<<tableofcontents>>
= KIAS Horizon > 기하학 > 코호몰로지란 무엇일까? (2023) =
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https://horizon.kias.re.kr/24026/
[[호몰로지,homology]] [[코호몰로지,cohomology]]관련 글. (여기선 독자 레벨을 고려해 homology/cohomology를 엄밀히 구별하지 않고 설명함. 서로 [[쌍대,dual]]. rel [[쌍대성,duality]].)


[[공간,space]]의 [[특성,characteristic]]을 나타내는 숫자들''(? 주제(homology/cohomology)관련은 확실하나 설명이 너무 까다로워지거나 길어질까봐 그런지, 정확한 명칭이+관계가 나오지 않음)''
(각 $n$ 차원 공간의 특성을 묘사하는 $n+1$ 개의 수들)
''(정수들의 tuple같이 생긴??)''

은 앞뒤로 항상 [[대칭성,symmetry]]을 띤다.
이것은 cohomology의 신비한 성질을 보여준다고.
현재의 명칭은 [[푸앵카레_쌍대성,Poincare_duality]]? (저기 표현은 "푸앙카레 쌍대 정리 Poincaré duality")
{
Poincaré duality
Ggl:"Poincaré duality"
[[쌍대성,duality]]
}

(저 수들이 뭔지 이제 설명하네...)

Poincare는 한 $n$ 차원 공간 $X$ 마다, 이를 [[묘사,depiction]]{ similar: [[기술,description]] [[서술]] }하는 $n+1$ 개의 수
$H^0(X),\,H^1(X),\,\cdots,\,H^n(X)$ 가 있음을 발견했다.
이는 마치 각 공간의 특징을 설명하는 [[바코드,barcode]]같은 것이다.

$n$ 차원 공간 $X$ 의 [[코호몰로지,cohomology]]란, 이 공간의 특성을 묘사하는 $n+1$ 개의 수 $H^0(X),\,H^1(X),\,\cdots,\,H^n(X)$ 를 뜻한다.

ex.
[[곡면,surface]]는 2차원 공간이므로 세 코호몰로지 $H^0,H^1,H^2$ 를 가진다.
$H^0,H^2$ 은 항상 1이라 큰 의미가 없고
$H^1$ 이 항상 [[짝수,even_number]] $2g$ 가 되는데, 여기서 $g$ 는 [[종수,genus]] { KmsE:genus NdEn:genus WtEn:genus } 라고 부르던,
곡면 $X$ 에 뚫린 "구멍의 개수"와 일치한다.

1920년대 중반 [[Emmy_Noether]]는 코호몰로지 $H(X)$ 가 사실 수들이 아닌 [[아벨_군,abelian_group]](=[[가환군,commutative_group]])으로 이해되어야 한다는 것을 발견함.
Poincare가 발견한 수들은 이 아벨군들의 [[차원,rank]]([[랭크,rank]] ..?)를 뜻했다.

1930년 [[de_Rham]]은 [[미적분,calculus]]에서 이미 중요하게 쓰이던 개념인 [[미분형식,differential_form]]이 코호몰로지적 [[해석,interpretation]]을 지님을 발견했다. 즉 코호몰로지를 써서 기존 이론을 새롭게 해석하는 것이 가능해졌다.

1930년대 중반 "위트니Whitney와 체흐Čech"에 의해 코호몰지에 [[곱셈,multiplication]] [[구조,structure]]가 존재함이 발견됨.
이건 코호몰로지가 아벨군보다 더 나아가 [[환,ring]]으로 해석되어야 한다는 걸 의미했다.

1940년대 중반 "아일렌버그Eilenberg와 스틴로드Steenrod"가 알려진 많은 코호몰로지들을 통합하면서 코호몰로지 이론을 거의 완성시키는 것처럼 보였다.

그러나 "르레이Leray"가 1940년부터 5년간 감옥에서 코호몰로지가
 * 공간만의 성질을 묘사하는 것이 아니라
 * 공간과 그 공간에 살고 있는 쉬프sheaf // pagename? KmsE:sheaf // 의 성질도 묘사하는 것이라고 생각했다.
임의의 $n$ 차원 공간 $X$ 와 그에 달린 임의의 sheaf $F$ 에 대해서도 똑같이 코호몰로지 $H(X,F)$ 를 정의할 수 있다는 것이다.
이것은 ''(Eilenberg/Steenrod 등?)'' 기존의 이해 방법을 완전히 바꾸었다.

1960년대 [[Alexander_Grothendieck]]은