1. 대각선논법 간단한 설명 SNU이광근 ¶
// 대각선논법,diagonal_argument 작성중
From: 컴여세 p41
From: 컴여세 p41
무한이 다 같은 무한이 아니고 자연수,natural_number의 개수보다 실수,real_number의 개수가 훨씬 크다.
또, 자연수의 개수보다 자연수의 부분집합,subset의 개수가 훨씬 더 크다. Georg_Cantor가 처음으로 확인해 준 사실이다.
또, 자연수의 개수보다 자연수의 부분집합,subset의 개수가 훨씬 더 크다. Georg_Cantor가 처음으로 확인해 준 사실이다.
에 대한 각주:
다음과 같이 확인할 수 있다. 대각선 논법diagonalization 이라고 불린다.
자연수의 부분집합들의 개수가 자연수 개수만큼만 있다면 모순이 된다.
자연수의 부분집합을 자연수로 번호 붙이기에는 늘 부족하게 된다. 다음과 같은 이유 때문이다.
자연수의 부분집합을 자연수로 번호 붙이기에는 늘 부족하게 된다. 다음과 같은 이유 때문이다.
자연수의 부분집합들이 자연수만큼만 있다면 그 집합들을 자연수로 모두 번호 매길 수 있을 것이다.
N1, N2, N3 등등. 이제 N1부터 차례로 살피면서 자연수 집합 X를 만들 수 있는데, 이 집합이 모든 자연수의 부분집합들과는 다르게 된다!
X는 빈집합(공집합,empty_set)에서 시작해서,
N1에 1이 없으면 X에 1을 넣고, 있으면 X에 넣지 않는다. 다음으로
N2에 2가 없으면 X에 2를 넣고, 있으면 X에 넣지 않는다.
이 과정을 N3, N4 등 모두에 대해서 한다.
그러면, X는 자연수의 부분집합이 분명하지만 N1, N2 등등 모두와 다르다.
자연수로 번호 매긴 것이 다인 줄 알았는데(N1, N2 등등) 그 외에 또 있는 것이다(X).
N1, N2, N3 등등. 이제 N1부터 차례로 살피면서 자연수 집합 X를 만들 수 있는데, 이 집합이 모든 자연수의 부분집합들과는 다르게 된다!
X는 빈집합(공집합,empty_set)에서 시작해서,
N1에 1이 없으면 X에 1을 넣고, 있으면 X에 넣지 않는다. 다음으로
N2에 2가 없으면 X에 2를 넣고, 있으면 X에 넣지 않는다.
이 과정을 N3, N4 등 모두에 대해서 한다.
그러면, X는 자연수의 부분집합이 분명하지만 N1, N2 등등 모두와 다르다.
자연수로 번호 매긴 것이 다인 줄 알았는데(N1, N2 등등) 그 외에 또 있는 것이다(X).
이런 논법을 대각선 논법이라고 부르는 이유는 X를 만들 때 따지는 (N1, 1), (N2, 2), … 들이
N1, N2 등을 가로축에 쓰고
1, 2 등을 세로축에 쓰면
대각선의 점들에 해당하기 때문이다.
N1, N2 등을 가로축에 쓰고
1, 2 등을 세로축에 쓰면
대각선의 점들에 해당하기 때문이다.
2. 선택: 멀티플렉서 multiplexer mux ¶
// 컴여세 pp. 72-73
둘 중 하나를 조건에 따라 결정하는 회로를 만들 수 있다. 즉,
들어오는 입력 x, y 중에서
선택자 z가 0이면 x를, 1이면 y를 선택하는 회로다. '''멀티플렉서multiplexer''라고 한다.
이러한 회로 역시 마찬가지로 입력과 출력을 표로 그리고 원하는 출력이 나오도록 회로를 만들어 주면 된다.
결과가 1이 되는 xyz의 4가지 경우는 100 110 011 111 이다. 따라서 위의 작동을 하는 디지털 논리회로는 다음과 같다.
둘 중 하나를 조건에 따라 결정하는 회로를 만들 수 있다. 즉,
들어오는 입력 x, y 중에서
선택자 z가 0이면 x를, 1이면 y를 선택하는 회로다. '''멀티플렉서multiplexer''라고 한다.
이러한 회로 역시 마찬가지로 입력과 출력을 표로 그리고 원하는 출력이 나오도록 회로를 만들어 주면 된다.
x | y | z | 결과 |
0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 |
x(-y)(-z)+xy(-z)+(-x)yz+xyz같은 일을 하는 더 간단한 회로로 다시 쓰면 아래와 같이 된다.
x(-z)+yz
3. 응답: 디코더 decoder ¶
// 컴여세 pp. 73-74
번호를 부르면 응답하는 디코더decoder도 회로로 만들 수 있다.
번호를 부르면 응답하는 디코더decoder도 회로로 만들 수 있다.
출력이 두 개의 선 x, y이다. 선택자(입력) c의 값에 따라 x나 y 중 하나만 1이 되는 회로다.
따라서 논리회로는 x=-c이고 y=c이다.
c | x | y |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 |
출력이 네 개의 선 x, y, z, w라고 하자. 이 경우 선택자(입력)는 두 개가 필요하다. 선 c와 d에 따라, 네 개의 출력 선 중에서 하나만 1이 된다.
따라서 논리회로는 다음과 같다.
c | d | x | y | z | w |
0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
x=(-c)(-d)
y=(-c)d
z=c(-d)
w=cd