arccosh_x_적분_증명

정리

$\displaystyle \int\cosh^{-1}x\,dx=x\cosh^{-1}x-\sqrt{x^2-1}+C$

증명

arcsinh_x_적분_증명과 마찬가지로 부분적분을 쓰면
$\displaystyle f(x)=\cosh^{-1}x$ $\displaystyle g'(x)=1$
$\displaystyle f'(x)=\frac1{\sqrt{x^2-1}}$ $\displaystyle g(x)=x$
이므로, 주어진 식은
$\displaystyle \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$
$\displaystyle =x\cosh^{-1}x-\int\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx$
가 되며, $\displaystyle \sqrt{x^2-1}=t$ 로 치환하면 $\displaystyle t^2=x^2-1,\;tdt=xdx$ 가 되므로 우측의 적분식은
$\displaystyle \int\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx=\int\frac{tdt}{t}=\int dt=t+C=\sqrt{x^2-1}+C$
가 되며 이것을 위 주어진 식에 대입하면 증명됨.