= 정리 =
$\int\cosh^{-1} x=x\cosh^{-1}x-\sqrt{x^2-1}+C$

= 증명 =
[[arcsinh_x_적분_증명]]과 마찬가지로 부분적분을 쓰면
||$f(x)=\cosh^{-1}x$ ||$g'(x)=1$ ||
||$f'(x)=\frac1{\sqrt{x^2-1}}$ ||$g(x)=x$ ||
이므로, 주어진 식은
 $\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$
 $=x\cosh^{-1}x-\int\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx$
가 되며, $\sqrt{x^2-1}=t$ 로 치환하면 $t^2=x^2-1,\;tdt=xdx$ 가 되므로 우측의 적분식은
 $\int\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx=\int\frac{tdt}{t}=\int dt=t+C=\sqrt{x^2-1}+C$
가 되며 이것을 위 주어진 식에 대입하면 증명됨.

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