정리 ¶
$\displaystyle \int\tanh^{-1}x = x \tanh^{-1}x + \frac12 \ln(x^2-1)+C$
작성중..........밑에 증명이 뭔가 틀림
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확인: https://mathworld.wolfram.com/InverseHyperbolicTangent.html (여기엔 ln(1-x^2)인데??)
https://blog.naver.com/mindo1103/90096283806
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확인: https://mathworld.wolfram.com/InverseHyperbolicTangent.html (여기엔 ln(1-x^2)인데??)
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증명 ¶
arcsinh_x_적분_증명이나 arccosh_x_적분_증명과 마찬가지로 부분적분을 이용.
$\displaystyle (\tanh^{-1} x)'=\frac1{1-x^2}\quad(|x|<1)$ 임을 이용.
그러면
$\displaystyle (\tanh^{-1} x)'=\frac1{1-x^2}\quad(|x|<1)$ 임을 이용.
| $\displaystyle f(x)=\tanh^{-1}x$ | $\displaystyle g'(x)=1$ |
| $\displaystyle f'(x)=\frac1{1-x^2}$ | $\displaystyle g(x)=x$ |
$\displaystyle \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$
$\displaystyle =x\tanh^{-1}x-\int\frac{x}{1-x^2}dx$
$\displaystyle =x\tanh^{-1}x+\int\frac{x}{x^2-1}dx$
$\displaystyle x^2-1=t$ 로 치환하면, $\displaystyle 2xdx=dt,\;xdx=\frac12dt$ 이고 이것을 적용하면 위 식의 오른쪽 적분은$\displaystyle =x\tanh^{-1}x-\int\frac{x}{1-x^2}dx$
$\displaystyle =x\tanh^{-1}x+\int\frac{x}{x^2-1}dx$
$\displaystyle \int\frac{xdx}{x^2-1}=\frac12\int\frac{dt}{t}=\frac12\ln|t|+C=\frac12\ln|x^2-1|+C$
이것을 원래 식에 넣으면,$\displaystyle x\tanh^{-1}x+\frac12\ln|x^2-1|+C$
그런데 $\displaystyle (\tanh^{-1} x)$ 의 정의역이 $\displaystyle |x|<1$ 이므로 $\displaystyle x^2<1,x^2-1<0$ 이다. 따라서$\displaystyle x\tanh^{-1}x+\frac12\ln(1-x^2)+C$
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