= 정리 =
$\int\tanh^{-1}x = x \tanh^{-1}x + \frac12 \ln(x^2-1)+C$

작성중..........밑에 증명이 뭔가 틀림
see
확인: https://mathworld.wolfram.com/InverseHyperbolicTangent.html (여기엔 ln(1-x^2)인데??)
https://blog.naver.com/mindo1103/90096283806

= 증명 =
[[arcsinh_x_적분_증명]]이나 [[arccosh_x_적분_증명]]과 마찬가지로 부분적분을 이용.
$(\tanh^{-1} x)'=\frac1{1-x^2}\quad(|x|<1)$ 임을 이용.
||$f(x)=\tanh^{-1}x$ ||$g'(x)=1$ ||
||$f'(x)=\frac1{1-x^2}$ ||$g(x)=x$ ||
그러면
 $\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$
 $=x\tanh^{-1}x-\int\frac{x}{1-x^2}dx$
 $=x\tanh^{-1}x+\int\frac{x}{x^2-1}dx$


$x^2-1=t$ 로 치환하면, $2xdx=dt,\;xdx=\frac12dt$ 이고 이것을 적용하면 위 식의 오른쪽 적분은
 $\int\frac{xdx}{x^2-1}=\frac12\int\frac{dt}{t}=\frac12\ln|t|+C=\frac12\ln|x^2-1|+C$
이것을 원래 식에 넣으면,
 $x\tanh^{-1}x+\frac12\ln|x^2-1|+C$
그런데 $(\tanh^{-1} x)$ 의 정의역이 $|x|<1$ 이므로 $x^2<1,x^2-1<0$ 이다. 따라서
 $x\tanh^{-1}x+\frac12\ln(1-x^2)+C$


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Up: [[여러가지증명]]