공학수학1,engineering_mathematics_1

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2. mathematical models

3. Linear DE 여부 판별 예제


$\displaystyle e^xy'+\cos(xy)y=\tan x$
$\displaystyle e^x$$\displaystyle x$ 에 대한 식이기 때문에 문제없는데,
$\displaystyle \cos(xy)$ 때문에 ( $\displaystyle y$ 가 들어있으므로 ) Linear가 아님.

$\displaystyle \sec(xy)y'=\sin x$
$\displaystyle \sec(xy)$ 때문에 nonlinear.

$\displaystyle \ln(x)y''-y'^2=e^{3x}+1$
$\displaystyle y'$ 에 제곱이 붙어있으므로 nonlinear.

$\displaystyle {e^x}^2y'''=\sec x^2$
linear.

4. 2.1 해곡선,solution_curve


qualitative_solution
(질적인, 정성적인)
수식으로 풀어낼 수 없는 경우.

analytic_solution
수식으로 풀어낼 수 있는 경우.
네 가지 다룰 해법은,
separable DE
linear DE
exact DE
substitution

lineal_element : a line segment of the slope
direction_field : the collection of all lineal elements

autonomous first-order DEs (자율 일차 미방?)
$\displaystyle y'=f(x,y)$ :
autonomous first order DE if $\displaystyle f(x,y)$ is free of the independent variable
즉 독립변수 $\displaystyle x$ 의 영향을 안받는다, $\displaystyle f(x,y)$$\displaystyle y$ 만의 함수다.
i.e. $\displaystyle y'=f(y)$

c is
critical point = equilibrium point = stationary point = 안정점
if
f(c)=0

평형점,equilibrium_point - 작성중
stable
어떤 시간 $\displaystyle t$ 이후에는 한 점 근처에 머무름
unstable
asymtotically stable
$\displaystyle t$ 가 커지면 그 점으로 수렴
(머물러 있기만 하는 걸로는 안됨)
그림에서 spiral으로 설명

ex.
$\displaystyle \frac{dP}{dt}=P(a-bP)$ : 우변에 t가 없으므로, autonomous first order DE
$\displaystyle P(a-bP)=f(P)$
이 식이 0이 되도록 하는 P값이 critical point이므로,
$\displaystyle P=0,\frac{a}{b}$ : critical points
$\displaystyle P(t)=0 \mbox{ and } P(t)=\frac{a}{b}$ : equilibrium solutions

5. 2.2 Separable DEs (1)

뭐에 대해 분리가 가능하냐면, '변수'에 대해서.

변수분리형미분방정식

일계미방
$\displaystyle y'=f(x,y)$
can be written as
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$
그러면, the DE is called separable DE.
$\displaystyle \frac1{h(y)}dy=g(x)dx,\mbox{ if }h(y)\ne0$

이걸 어떻게 풀 것인가?

$\displaystyle \frac1{h(y)}{\triangle\atop=}p(y)$ 라고 놓고,
해(solution)를 $\displaystyle y=\phi(x)$ 로 놓고, 위의 식 양변을 dx로 나누면
$\displaystyle \frac1{h(y)}\frac{dy}{dx}=p(y)\frac{dy}{dx}=g(x)$ 이다.

$\displaystyle y'=\phi'(x)$ 이고, 양변에 x에 대한 적분을 취한다.
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\phi'(x)$
$\displaystyle d\phi(x)=\phi'(x)dx$

위에서
$\displaystyle p(y)\frac{dy}{dx}=g(x)$
라고 했다.


$\displaystyle \int p(\phi(x))\phi'(x)dx=\int g(x)dx$

$\displaystyle \int p(y)dy=\int g(x)dx$

$\displaystyle P(y)=G(x)+C$


6. 2.2 Separable DEs (2)


ex1)
$\displaystyle (1+x)dy-ydx=0$

general sol)
i) $\displaystyle y\ne0,x\ne-1$
$\displaystyle \int\frac1ydy=\int\frac1{1+x}dx$
$\displaystyle \ln|y|=\ln|1+x|+C$ : implicit sol.
$\displaystyle y=C(1+x)$ : general sol. (explicit sol.)

엄밀하게는, 양변에 지수함수를 취하여
$\displaystyle |y|=e^C|1+x|$
$\displaystyle y=\pm e^C(1+x)$
여기서 $\displaystyle \pm e^C$ 가 상수.

ii) $\displaystyle y=0$
general sol.에서 C=0이면 y=0
∴ singular sol.은 없다.

ex2)
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y},\;y(4)=-3$ , particular sol.?

sol)
$\displaystyle \int ydy=-\int xdx$
$\displaystyle \frac12y^2=-\frac12x^2+C$
$\displaystyle x^2+y^2=C$
$\displaystyle x=4$ 대입하면 $\displaystyle C=25$ 인데, 이 문제에서는 $\displaystyle y<0$ 이므로 $\displaystyle y=-\sqrt{25-x^2}$

ex3)
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=y^2-4$

sol)
i) $\displaystyle y\ne\pm2$
$\displaystyle \frac1{y^2-4}dy=dx$
$\displaystyle \left(\frac{1/4}{y-2}-\frac{1/4}{y+2}\right)dy=dx$
$\displaystyle \frac14\ln|y-2|-\frac14\ln|y+2|...$
$\displaystyle \frac14\ln\left|\frac{y-2}{y+2}\right|=x+C$
$\displaystyle \left|\frac{y-2}{y+2}\right|=Ce^{4x}$
$\displaystyle y=2\frac{1+ce^{4x}}{1-c^{4x}}$
: general sol., explicit sol.
ii) y=2: take c=0
iii) y=-2: singular sol.

ex4)
$\displaystyle \cos x(e^{2y}-y)y'=e^y\sin(2x),\;y(0)=0$
IVP임. separable임.
sol)
$\displaystyle \frac{e^{2y}-y}{e^y}dy=\frac{\sin 2x}{\cos x}dx$
우변의 $\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x$ 이므로
$\displaystyle \frac{e^{2y}-y}{e^y}dy=2\sin xdx$
$\displaystyle e^y+ye^{-y}+e^{-y}=-2\cos x+C$
x=0 대입: C=4
∴ particular sol.: $\displaystyle e^y+ye^{-y}+e^{-y}=-2\cos x+4$ : implicit sol.

7. 2.3 Linear DEs (1)

선형미분방정식

A first-order DE of the form
$\displaystyle a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x)$
is said to be a first order linear DE in y

homogeneous: g(x)=0
nonhomogeneous: g(x)≠0

standard form: 위의 식 양변을 $\displaystyle a_1(x)$ 로 나누어서
$\displaystyle \frac{dy}{dx}+p(x)y=f(x)$ 꼴로 표현한 것
$\displaystyle p$ and $\displaystyle f$ are continuous fts(functions) on an interval $\displaystyle I$

이런 미분방정식의 general sol.은 합
$\displaystyle y_c+y_p$
로 표현이 되는데
$\displaystyle y_c$ 는 homogeneous equation $\displaystyle y'+p(x)y=0$ 의 general solution.
(homogeneous equation의 solution이다 라고 해서, $\displaystyle y_h$ 로 쓰기도 한다.)
$\displaystyle y_p$$\displaystyle y'+p(x)y=f(x)$ 를 만족하는 솔루션 하나.
p는 particular.

왜 그런가?


$\displaystyle L$ 이라는 연산자,operator를 써서 (선형연산자??)
$\displaystyle Ly=\frac{dy}{dx}+p(x)y$ 같은 식을 쓸 수 있다. 여기서 $\displaystyle L$
$\displaystyle L=D+p(x)$
여기서 미분연산자,differentiation_operator $\displaystyle D=\frac{d}{dx}$

$\displaystyle Ly_c=0$
$\displaystyle Ly_p=f$
$\displaystyle L(y_c+y_p)=Ly_c+Ly_p=f$


$\displaystyle y_c$ 를 구하고 이를 이용해서 $\displaystyle y_p$ 를 구하는데, 이 방법을 variation_of_parameters라고 함.
매개변수변환법. 가끔은 매개변수변화법?

How can we solve this DE?
1. Solve the homogeneous DE that is separable:
$\displaystyle y_c=Ce^{-\int p(x)dx}=Cy_1$
2. Find a solution of nonhomogeneous DE $\displaystyle y_p$ that is independent with $\displaystyle y_c(x)$ .
How can we get $\displaystyle y_p$ ?
By variation of parameters (
$\displaystyle y_p(x)=u(x)y_1(x),$
$\displaystyle u(x)$ : not a constant
)

8. 2.3 Linear DEs (1-1)

yc를 구하기

1. Solve the homogeneous DE that is separable:
$\displaystyle y_c:$
$\displaystyle \frac{dy}{dx}+p(x)y=0$
변수분리하면
$\displaystyle \frac1ydy=-p(x)dx$
적분하면
$\displaystyle \ln|y|=-\int p(x)dx$
$\displaystyle y_c=Ce^{-\int p(x)dx}=Cy_1$

yp를 구하기

참고로, yc와 yp는 independent해야 한다. 즉
$\displaystyle y_p=\alpha y_c$ (알파가 상수)
이면 안된다. 왜냐하면, 아까 $\displaystyle Ly=f$ 를 만족하는게 $\displaystyle y_p$ 라고 했었는데, $\displaystyle y_p$ 가 위와 같은 모양이면, linear 성질에 의해
$\displaystyle L(\alpha y_c)=\alpha L y_c=\alpha\cdot0=0$
이므로 $\displaystyle y_p$$\displaystyle Ly=f$ 을 만족하지 않는다.
즉 particular solution이 아니라 homogeneous equation의 solution이 되버리는 것이다.

아무튼 상수가 아닌 $\displaystyle u(x)$ 를 구해낼 방법이 있다.

2. Find a solution of nonhomogeneous DE $\displaystyle y_p$ that is independent with $\displaystyle y_c(x)$ .
$\displaystyle y_p:$
$\displaystyle y_p=u(x)y_1(x)$ 라 하고 (variation of parameters)
이를 $\displaystyle y'+p(x)y=f(x)$ 에 대입

$\displaystyle u'y_1+uy_1'+p(uy_1)=f$
여기서 왼쪽의 두개 term은 y'임. ( $\displaystyle y'=u'y_1+uy_1'$ )
두번째와 세번째 텀을 u로 묶으면
$\displaystyle u'y_1+u(y_1'+py_1)=f$
$\displaystyle u'y_1=f$
: separable
$\displaystyle \int du=\int \frac{f(x)}{y_1}dx$
$\displaystyle u(x)=\int f(x)e^{\int p(x)dx}dx$

∴ general solution:
$\displaystyle y=y_c+y_p$
$\displaystyle =Ce^{-\int p(x)dx}+Ce^{-\int p(x)dx}\int f(x)e^{-\int p(x)dx}dx$
$\displaystyle =Ce^{-\int p(x)dx}\int f(x)e^{-\int p(x)dx}dx$

9. 2.3 Linear DEs (2)

그리하여 정리하면

Linear DEs
- the solution of nonhomogeneous DE:
$\displaystyle y_p=e^{-\int p(x)dx}\int e^{\int p(x)dx}f(x)dx$
- general solution of a first-order linear DE:
$\displaystyle y=y_c+y_p=Ce^{-\int p(x)dx}+e^{-\int p(x)dx}\int e^{\int p(x)dx}f(x)dx$
or 묶어서
$\displaystyle y=e^{-\int p(x)dx}\int e^{\int p(x)dx}f(x)dx$
or
$\displaystyle \frac{d}{dx}\left[e^{\int p(x)dx}y\right]=e^{\int p(x)dx}f(x)$

뒤의 integral에서 나오는 상수는 무시하면 안된다

ex1)
$\displaystyle \frac{dy}{dx}-3y=6$ separable?

general sol. $\displaystyle y=Ce^{3x}-2$

sol)
$\displaystyle p(x)=-3$
$\displaystyle f(x)=6$
$\displaystyle y=Ce^{\int 3dx}\int 6e^{-\int 3dx}dx$
$\displaystyle =e^{3x}(-2e^{-3x}+C)$

ex3)

$\displaystyle (x^2-9)\frac{dy}{dx}+xy=0$ separable?

general sol. $\displaystyle y=\frac{C}{\sqrt{x^2-9}}$
(의미를 갖는 구간, 즉 DE가 고려되는 구간은 x<-3, x>3)

sol)
If $\displaystyle x\ne\pm3,$
$\displaystyle \frac{dy}{dx}+\frac{x}{x^2-9}y=0,$
$\displaystyle p(x)=\frac{x}{x^2-9},$
$\displaystyle f(x)=0$

$\displaystyle y=Ce^{\int\frac{x}{x^2-9}dx}\int0\cdot e^{-\int\frac{x}{x^2-9}dx}dx$
$\displaystyle y=\frac{C}{\sqrt{x^2-9}}$
(this has meaning on x<-3, x>3, i.e. the DE is considered on the intervals)

10. 2.3 Linear DEs (3)

Nonelementary functions
: antiderivatives cannot be expressed by elementary functions

예를 들어 $\displaystyle \int_0^\infty e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ 이다.

error function:
$\displaystyle \operatorname{erf}(x)=\frac2{\sqrt{\pi}}\int_0^xe^{-t^2}dt$
complementary error function:
$\displaystyle \operatorname{erfc}(x)=\frac2{\sqrt{\pi}}\int_x^{\infty}e^{-t^2}dt$

$\displaystyle \operatorname{erf}(x)+\operatorname{erfc}(x)=1$


ex6)
$\displaystyle \frac{dy}{dx}-2xy=2,\;y(0)=1,$
particular solution
$\displaystyle y=e^{x^2}(1+\sqrt{\pi}\mathrm{erf}(x))$


$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac1{x+y^2}$
: not separable, not linear in y
$\displaystyle \frac{dx}{dy}=x+y^2$
$\displaystyle \frac{dx}{dy}-x=y^2$
: linear in x
general solution:
$\displaystyle x=-y^2-2y-2+Ce^y$

구체적으로 쓰면 (강의내 파란색 필기에서는)
$\displaystyle p(y)=-1$
$\displaystyle f(y)=y^2$
$\displaystyle x(y)=e^{\int 1dy}\int y^2 e^{-\int dy}dyf(y)=y^2$

11. 2.4 Exact DEs (1)


A differential expression
$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy$
exact differential(완전 미분)이라고 부른다. in a region $\displaystyle R$ of the xy-plane if
$\displaystyle \exists f\mbox{ s.t. }\frac{\partial f}{\partial x}=M(x,y)\mbox{ and }\frac{\partial f}{\partial y}=N(x,y)$
$\displaystyle f$ 는 다변수함수.

Def.
A first-order DE of the form
$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ : exact DE
if
$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy$ : exact differential

If
$\displaystyle z=f(x,y)$ ,
then the VG:전미분,total_differential is given by
$\displaystyle dz=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$

$\displaystyle f(x,y)=C\qquad \Leftrightarrow\qquad \frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=0$
이런 1계 미분방정식으로 표현

How can get the solution of an exact DE?
  1. Find $\displaystyle f(x,y)$ by
    $\displaystyle f(x,y)=\int M(x,y)dx+g(y)$
  2. or
    $\displaystyle f(x,y)=\int N(x,y)dy+g(x)$
  3. Find $\displaystyle g(y)$ by
    $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=N(x,y)$
  4. or $\displaystyle g(x)$ by $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=M(x,y)$
    ⇒ Sol. $\displaystyle f(x,y)=C$ (C: const.)


12. 2.4 Exact DEs (2)

Thm 2.1
$\displaystyle M(x,y)\mbox{ and }N(x,y)$ : continuous and have continuous first partial derivatives
in $\displaystyle R=\lbrace(x,y):\;a

$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy$ : exact differential

$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$

RK.
$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ : exact DE

$\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$


증명
Assume that $\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy$ : exact differential
$\displaystyle \Rightarrow \exists f\mbox{ s.t. }Mdx+Ndy=f_x dx+f_y dy$
$\displaystyle \Rightarrow M_y=\frac{\partial}{\partial y}f_x=f_{xy},$
$\displaystyle N_x=\frac{\partial}{\partial x}f_y=f_{yx}$
가정에서 모든 2차 편미분이 연속이므로, $\displaystyle f_{xy}=f_{yx}$
$\displaystyle M_y=N_x$


ex1)
$\displaystyle 2xydx+(x^2-1)dy=0$ : separable, linear in y, exact?
general sol.
$\displaystyle y=\frac{C}{x^2-1}$
( defined on $\displaystyle \mathbb{R}-\left{\pm1\right}$ )

sol)
$\displaystyle M=2xy,\;N=x^2-1,\;M_y=2x=N_x$ : exact
$\displaystyle f(x,y)=\int 2xydx+g(y)=x^2y+g(y),$
$\displaystyle f_y=x^2+g'(y)=N=x^2-1$
$\displaystyle g'(y)=-1,\;g(y)=-y+C$
$\displaystyle f(x,y)=x^2y-y+C$
∴ General solution: $\displaystyle x^2y-y=C$


ex3)
$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{xy^2-\cos x\sin x}{y(1-x^2)},\;y(0)=2$ : not separable, not linear in y, not linear in x, exact?

implicit sol.
$\displaystyle y^2(1-x^2)-\cos^2x=C$

sol)
$\displaystyle M_y=-2xy=N_x$ : exact
$\displaystyle f(x,y)=\int y(1-x^2)dy+h(x)$
$\displaystyle =\frac12y^2(1-x^2)+h(x),$
$\displaystyle f_x=-y^2x+h'(x)=-xy^2+\cos x \sin x$
$\displaystyle h(x)=\int \cos x \sin x dx$
$\displaystyle =\int tdt$
$\displaystyle =\frac12\sin^2x+C$ (t=sinx 치환)
∴ general solution:
$\displaystyle y^2(1-x^2)+\sin^2x=C$