만일
$\displaystyle f$ 가 거듭제곱급수로 표현된다면, 즉
$\displaystyle f(x)=c_0+c_1(x-1)+c_2(x-a)^2+c_3(x-a)^3+c_4(x-a)^4+\cdots\;\;(|x-a|
이라면
$\displaystyle x=a$ 대입하여
$\displaystyle f(a)=c_0$
미분하여
$\displaystyle f'(x)=c_1+2c_2(x-a)+3c_3(x-a)^2+4c_4(x-a)^3+\cdots$
$\displaystyle f'(a)=c_1$
또 미분하여
$\displaystyle f''(x)=2c_2+3\cdot 2c_3(x-a)+4\cdot 3c_4(x-a)^2+\cdots$
$\displaystyle f''(a)=2c_2$
또 미분하여
$\displaystyle f'''(x)=3\cdot 2 c_3+4\cdot 3\cdot 2 c_4 (x-a)+\cdots$
$\displaystyle f'''(a)=3\cdot 2 c_3$
therefore
$\displaystyle c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$
정리:
$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n,\;\;\;|x-a|
이라 하면
$\displaystyle c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$
이다.
참고:
함수 $\displaystyle f$ 가 무한번 미분가능하고,
$\displaystyle a$ 에 관한 거듭제곱급수로 표현된다면,
그 계수는 유일하게 결정된다.
정의:
$\displaystyle f$ 의 거듭제곱 급수 표현이 존재할 경우
$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
$\displaystyle =f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$
를
$\displaystyle a$ 에서의
$\displaystyle f$ 의
테일러 급수(Taylor series)라 한다.
특히
$\displaystyle a=0$ 일 때
$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
$\displaystyle =f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\cdots$
를
$\displaystyle f$ 의
매클로린 급수(Maclaurin series)라 한다.
ex.
$\displaystyle f(x)=e^x$ 의 Maclaurin series와 수렴반지름을 구하라.
sol.
$\displaystyle f'(x)=e^x,\;f''(x)=e^x,\;\cdots$
$\displaystyle f(0)=f'(0)=f''(0)=\cdots=1$
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$
이고 비율판정법을 쓰면 수렴반지름 R은 ∞이다.
참고:
$\displaystyle f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}}&(x\ne0)\\0&(x=0)\end{cases}$
$\displaystyle \Rightarrow f^{(n)}(0)=0\;\;(n=0,1,2,\cdots)$
따라서
$\displaystyle f$ 의 매클로린 급수는 영함수(0함수)이며 이는
$\displaystyle f$ 와 다르다.
정의: 함수
$\displaystyle f$ 에 대해
$\displaystyle T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$
를
$\displaystyle a$ 에서
$\displaystyle f$ 의
$\displaystyle n$ 차 테일러다항식이라 부른다.
$\displaystyle R_n(x)=f(x)-T_n(x)$ 를 테일러급수의 나머지항(remainder)이라 부른다.
정리:
$\displaystyle |x-a| 일 때
$\displaystyle f(x)=T_n(x)+R_n(x)$ 이고
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}R_n(x)=0$ 이면
$\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}T_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ 이다.
정리(테일러의 공식)
$\displaystyle f$ 의 $\displaystyle (n+1)$ 계 도함수가 $\displaystyle a$ 를 포함하는 적당한 구간 $\displaystyle I$ 에서 존재할 때, $\displaystyle I$ 에 속한 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle a$ 사이에 적당한 실수 $\displaystyle z$ 가 존재하여
$\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$
이다.
참고:
(i) 위의 식을 다시 쓰면
$\displaystyle f(x)=\underbrace{f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n}_{T_n(x)}+\underbrace{\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}}_{R_n(x)}$
(ii)
$\displaystyle n=0$ 이면,
$\displaystyle f(x)=f(a)+f'(z)(x-a)$ 즉
$\displaystyle f(x)-f(a)=f'(z)(x-a)$ (평균값 정리를 일반화한 거라고 볼 수 있다)
정리:
$\displaystyle \forall x\in\mathbb{R},$
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{x^n}{n!}=0$
pf.
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ 은 임의의 $\displaystyle x$ 에 대해 수렴한다. (<= 비율판정법)
따라서 0이다.
예:
$\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\;\;(x\in\mathbb{R})$
pf.
$\displaystyle x=0$ 일 때 : 자명하게 위의 식이 성립.
$\displaystyle x\ne0$ 일 때 : 테일러 공식에서 주어진 $\displaystyle x(\ne0)$ 에 대하여
$\displaystyle -|x|\lt z\lt |x|$ 인 $\displaystyle z$ 가 존재하여
$\displaystyle R_n(x)=\frac{e^z}{(n+1)!}x^{n+1}$ 이다.
∴
$\displaystyle |R_n(x)|\le \frac{e^{ | x | }}{(n+1)!}|x|^{n+1}\to0$ ( $\displaystyle n\to\infty$ 일때 )
∴
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}|R_n(x)|=0$
∴
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}R_n(x)=0$
따라서
$\displaystyle f(x)=e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}(x\in\mathbb{R})$
$\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!}=1+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots$
$\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\;(x\in\mathbb{R})$
$\displaystyle \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\;(x\in\mathbb{R})$
$\displaystyle \tan^{-1}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots\;(-1\le x\le1)$
$\displaystyle \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots\;(-1
(이것들은 암기)