동차함수(see 함수,function#s-42)에서 계속됨

미분방정식

$\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

에서 $\displaystyle M(x,y)$ 와 $\displaystyle N(x,y)$ 가 같은 차수인 동차함수일 때, 동차미분방정식이라 한다.
동차미분방정식은 적당한 치환에 의해 항상 변수분리형 미방으로 변형된다.

치환방법 1 ¶

$\displaystyle y=ux$
$\displaystyle u=\frac{y}{x}$

dy에 곱해지는 N이 간단한 경우.

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}\cdot x+u\cdot 1$
$\displaystyle dy=u\cdot dx+x\cdot du$

이걸 일일히 유도하기 보다 암기하는 게 좋다

M이 x에 대한 n차라 가정하고, $\displaystyle x^n$ 을 묶어낸다.

$\displaystyle M(x,y)=x^n M(1,\frac{y}{x})=x^n M(1,u)$
$\displaystyle N(x,y)=x^n N(1,\frac{y}{x})=x^n N(1,u)$

이것을 원래 방정식에 대입.

$\displaystyle x^n M(1,u)dx+ x^nN(1,u)(u\cdot dx+x\cdot du)=0$

$\displaystyle x^n$ 으로 나누면

$\displaystyle M(1,u)dx+N(1,u)(udx+xdu)=0$
$\displaystyle [M(1,u)+uN(1,u)]dx+xN(1,u)du=0$

x로나누면....

$\displaystyle \frac1x dx [M(1,u)+uN(1,u)] + N(1,u)du = 0$

$\displaystyle [...]$ 로 나누면...

$\displaystyle \frac1x dx + \frac{N(1,u)}{M(1,u)+uN(1,u)}du=0$

이렇게 변수분리가 된다.

치환방법 2 ¶

$\displaystyle x=vy$
$\displaystyle v=\frac{x}{y}$

dx에 곱해지는 M이 간단한 경우.

참고한 곳: