정의 8.1: 선형 변환 또는 텐서
선형 변환(이하에서는 텐서로 부르기로 한다)
T는
선형벡터공간(
벡터공간,vector_space) R에 속한 벡터를 입력으로 하고,
그 출력 벡터 또한 R에 속하는
연산자,operator이며,
R에 속하는 임의의 벡터
x,
y와 임의의 스칼라 α에 대해 다음와 같은
선형성,linearity을 가진다.
1) T(x + y) = T(x) + T(y), 즉 벡터 덧셈에 대한 분배성.
2) T(α x) = α T(x), 즉 숫자곱에 대한 분배성.
위와 같이 정의된 텐서
T는 R 상에 정의되었다고 말한다.
정의 8.2: 기본적인 텐서
아래에서 벡터
x는 선형벡터공간 R에 속하는 임의의 벡터이다.
1) 단위 텐서(identity tensor)
1은 다음 식을 만족한다. //
단위텐서,identity_tensor
1 x = x
2) 영 텐서(null tensor)
0은 다음 식을 만족한다. //
영텐서,null_tensor
0 x = 0
단 식 2) 좌변의
0은 영 텐서이고, 우변의
0은 영 벡터인데, 같은 표기를 가지지만, 식의 내용(context)으로부터 혼동의 소지가 없을 것으로 생각한다.
정의 8.3: 텐서의 등치와 연산
아래에서 벡터
x는 선형벡터공간 R에 속하는 임의의 벡터이며
α는 임의의 스칼라이고
A와
B는 R 상에 정의된 텐서이다.
1)
A와
B가 다음 식을 만족할 때,
A =
B라고 한다.
A x = B x
2) 텐서의 덧셈은 다음과 같이 정의한다. //
tensor_addition 덧셈,addition
(A + B) x = A x + B x
3) 텐서의 숫자곱은 다음과 같이 정의한다. //
scalar_multiplication?
(α A)(x) = A(α x)
4) 텐서곱은 다음과 같이 정의한다. //
텐서곱,tensor_product
(A B) (x) = A (B x)
위 4)의 정의에 따르면 (
B A)(
x) =
B(
A x)이므로, 일반적으로 다음 식이 성립한다.
A B ≠ B A
한편 주어진 텐서
A의 입력과 출력이 1:1로 대응할 때는 역텐서(inverse tensor)가 존재함을 보일 수 있다. //
역텐서,inverse_tensor
정리 8.1: 역텐서
선형벡터공간 R 상에 정의된 텐서
A의 입력과 출력이 1:1로 대응할 때,
다음과 같은 성질을 가지는 텐서
B가 존재하며,
A B = B A = 1
이 텐서
B를
A의 역텐서라고 하고,
A−1로 표기한다. 또한
A−1를 가지는 텐서
A는 비특이 텐서(nonsingular tensor)라고 한다. //
비특이텐서,nonsingular_tensor
(이승준 p162-164)
공학도를 위한 응용수학