판정법,test (rev. 1.27)
4. 비교판정법 comparison test ¶
예:
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac4{3n^2+n+1}$ 은 수렴한다.
이유:$\displaystyle 0<\frac4{3n^2+n+1}<\frac4{3n^2}$ 이고
$\displaystyle \sum \frac4{3n^2}=\frac43 \sum \frac1{n^2}$ 은 수렴한다. $\displaystyle p=2>1$ 인 p급수이므로.
따라서 비교판정법에 의해 주어진 급수는 수렴한다.
$\displaystyle \sum \frac4{3n^2}=\frac43 \sum \frac1{n^2}$ 은 수렴한다. $\displaystyle p=2>1$ 인 p급수이므로.
따라서 비교판정법에 의해 주어진 급수는 수렴한다.
5. 극한비교판정법,limit_comparison_test ¶
$\displaystyle \forall n,\; a_n>0,\;b_n>0$ 이고
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}{a_n\over b_n}=c>0$
이면 두 급수$\displaystyle \sum a_n,\,\sum b_n$
은 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.이유: 충분히 큰 $\displaystyle n$ 에 대해 적당한 자연수 $\displaystyle N$ 이 존재하여 $\displaystyle n\ge N$ 일 때 $\displaystyle a_n\approx cb_n$ 이므로
$\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty}a_n \approx \sum_{n=N}^{\infty}cb_n = c\sum_{n=N}^{\infty}b_n$
이다. (직관적 설명이고 엄밀한 증명은 아님)예:
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2-n+1}$
이건 비교판정법으로 안된다고 함.증명:
$\displaystyle a_n=\frac1{n^2-n+1},\;b_n=\frac1{n^2}$
이라 하면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}$
$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{n^2-n+1}}{\frac1{n^2}}$
$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2-n+1}$
$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac1{1-\frac1n+\frac1{n^2}}=1>0$
이고$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{n^2-n+1}}{\frac1{n^2}}$
$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2-n+1}$
$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac1{1-\frac1n+\frac1{n^2}}=1>0$
$\displaystyle \sum b_n=\sum \frac1{n^2}$ 은 수렴 ( $\displaystyle p=2>1$ 인 p급수 )
하므로 극한비교판정법에 의해$\displaystyle \sum\frac1{n^2-n+1}=\sum a_n$
은 수렴한다.예:
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(2^{\frac1n}-1)$ 의 수렴/발산을 판정하라.
sol.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2^{\frac1n}-1}{\frac1n}$ ........ $\displaystyle t=\frac1n$ 치환
$\displaystyle =\lim_{t\to 0+}\frac{2^t-1}{t}$
$\displaystyle =\lim_{t\to 0+}\frac{2^t-2^0}{t-0}$ ..... $\displaystyle f(t)=2^t$ 라면 주어진 식이 $\displaystyle f'(0)$ 이고 $\displaystyle f'(t)=2^t\ln2$ 이므로
$\displaystyle =\ln2>0$
이고 $\displaystyle \sum\frac1n$ 이 발산 ( $\displaystyle p=1\le1$ 인 p급수 ) 하므로, 극한비교판정법에 의하여$\displaystyle =\lim_{t\to 0+}\frac{2^t-1}{t}$
$\displaystyle =\lim_{t\to 0+}\frac{2^t-2^0}{t-0}$ ..... $\displaystyle f(t)=2^t$ 라면 주어진 식이 $\displaystyle f'(0)$ 이고 $\displaystyle f'(t)=2^t\ln2$ 이므로
$\displaystyle =\ln2>0$
$\displaystyle \sum(2^{\frac1n}-1)$
은 발산한다.6. 교대급수판정법 ¶
교대급수
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n=b_1-b_2+b_3-b_4+\cdots\;\;(b_n>0)$
이 두 조건(i) 모든 $\displaystyle n$ 에 대해 $\displaystyle b_{n+1}\le b_n$
(ii) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=0$
을 만족하면, 급수(ii) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=0$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n$
은 수렴한다.7. 비율판정법 ratio_test ¶
(i)
(i) $\displaystyle n$ 이 크면, 즉 적당한 자연수 $\displaystyle N$ 이 존재하여 $\displaystyle n\ge N$ 이면
$\displaystyle \lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L<1$ 이면
$\displaystyle \sum a_n$ 은 절대수렴한다. (see 수렴,convergence)
(따라서 Σan은 수렴한다.)
(ii)$\displaystyle \sum a_n$ 은 절대수렴한다. (see 수렴,convergence)
(따라서 Σan은 수렴한다.)
$\displaystyle \lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L>1$ 이거나 $\displaystyle \infty$ 이면
$\displaystyle \sum a_n$ 은 발산한다.
(iii)$\displaystyle \sum a_n$ 은 발산한다.
$\displaystyle \lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$ 이면
$\displaystyle \sum a_n$ 은 수렴할수도 있고 발산할수도 있다.
(i.e. 비판정법으로는 판정불가)
pf.$\displaystyle \sum a_n$ 은 수렴할수도 있고 발산할수도 있다.
(i.e. 비판정법으로는 판정불가)
(i) $\displaystyle n$ 이 크면, 즉 적당한 자연수 $\displaystyle N$ 이 존재하여 $\displaystyle n\ge N$ 이면
$\displaystyle |a_{n+1}|\approx L|a_n|\;(0\le L < 1)$ 이므로
$\displaystyle |a_{N+1}|\approx L|a_N|,$
$\displaystyle |a_{N+2}|\approx L|a_{N+1}|\approx L^2|a_N|,\;\cdots$
$\displaystyle |a_{N+k}|\approx L^k|a_N|,\;\cdots$
이므로$\displaystyle |a_{N+1}|\approx L|a_N|,$
$\displaystyle |a_{N+2}|\approx L|a_{N+1}|\approx L^2|a_N|,\;\cdots$
$\displaystyle |a_{N+k}|\approx L^k|a_N|,\;\cdots$
$\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty}|a_n|$ 은 기하급수형태이고 $\displaystyle 0\le L<1$ 이므로
$\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty}|a_n|$ 은 수렴한다. 따라서
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ 은 수렴한다.
(ii) $\displaystyle L>1$ or $\displaystyle L=\infty$ 이면, 충분히 큰 $\displaystyle N$ 에 대해 $\displaystyle n\ge N$ 일 때$\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty}|a_n|$ 은 수렴한다. 따라서
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ 은 수렴한다.
$\displaystyle |a_{n+1}|>|a_n|$
이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|\ne0$ 이다.
따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n\ne0$ 이다.
따라서$\displaystyle \sum a_n$ 은 발산한다. (<= 발산판정법)
(iii)$\displaystyle a_n=\frac1n \;\Rightarrow\; \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{n+1}}{\frac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1$
이며 $\displaystyle \sum a_n$ 은 발산한다.$\displaystyle a_n=\frac1{n^2} \;\Rightarrow\; \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{(n+1)^2}}{\frac1{n^2}}=1$
이며 $\displaystyle \sum a_n$ 은 수렴한다.7.1. 비율판정법의 예 ¶
ex.
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}$ 은 수렴한다.
pf.$\displaystyle a_n=\frac{n!}{n^n}$ 이라 하면
$\displaystyle \lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}$
$\displaystyle =\lim \frac{n^n (n+1)!}{(n+1)^{n+1} n!}$
$\displaystyle =\lim \frac{n^n}{(n+1)^n}$
$\displaystyle =\lim\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$
$\displaystyle =\lim\left(\frac{n+1}{n}\right)^{-n}$
$\displaystyle =\lim\left(1+\frac1n\right)^{-n}$
$\displaystyle =\lim\frac1{\left(1+\frac1n\right)^n}=\frac1e<1$
ex.$\displaystyle \lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}$
$\displaystyle =\lim \frac{n^n (n+1)!}{(n+1)^{n+1} n!}$
$\displaystyle =\lim \frac{n^n}{(n+1)^n}$
$\displaystyle =\lim\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$
$\displaystyle =\lim\left(\frac{n+1}{n}\right)^{-n}$
$\displaystyle =\lim\left(1+\frac1n\right)^{-n}$
$\displaystyle =\lim\frac1{\left(1+\frac1n\right)^n}=\frac1e<1$
$\displaystyle \sum(-1)^n\frac{n^2}{2^n}$ 은 절대수렴한다.
pf.$\displaystyle \lim\left|\frac{(-1)^{n+1}\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}}{(-1)^n\frac{n^2}{2^n}}\right|$
$\displaystyle =\lim\frac{(n+1)^22^n}{n^22^{n+1}}$
$\displaystyle =\lim\frac{n^2+2n+1}{2n^2}=\frac12<1$
ex.$\displaystyle =\lim\frac{(n+1)^22^n}{n^22^{n+1}}$
$\displaystyle =\lim\frac{n^2+2n+1}{2n^2}=\frac12<1$
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^3}$ 은 발산한다.
pf$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{3^{n+1}}{(n+1)^3}}{\frac{3^n}{n^3}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{n^33^{n+1}}{(n+1)^33^n}=3>1$
이므로 비율판정법에 의하여 주어진 급수는 발산한다.8. 거듭제곱근 판정법 ¶
(i)
$\displaystyle \lim\sqrt[n]{|a_n|}=L<1$ 이면 $\displaystyle \sum a_n$ 은 절대수렴
(ii)$\displaystyle \lim\sqrt[n]{|a_n|}=L>1$ 이거나 $\displaystyle \infty$ 면 $\displaystyle \sum a_n$ 은 발산
(iii)$\displaystyle \lim\sqrt[n]{|a_n|}=1$ 이면 판정불가
ex.$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{n+1}{2n+1} \right )^n$ 은 수렴한다.
pf.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\left( \frac{n+1}{2n+1}\right )^n\right|}$
$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left( \frac{n+1}{2n+1}\right )^n}$
$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n+1}=\frac12<1$
이므로 거듭제곱근판정법에 의하여 주어진 급수는 수렴한다.$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left( \frac{n+1}{2n+1}\right )^n}$
$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n+1}=\frac12<1$
9. (수열 말고) 함수 관련 판정법 ¶
see also 
수렴판정법,convergence_test
source: http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1269664 판정법관련단원
수렴판정법,convergence_testsource: http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1269664 판정법관련단원