대충읽기
From
https://horizon.kias.re.kr/24026/
호몰로지,homology 코호몰로지,cohomology관련 글. (여기선 독자 레벨을 고려해 homology/cohomology를 엄밀히 구별하지 않고 설명함. 서로 쌍대,dual. rel 쌍대성,duality.)

공간,space의 특성,characteristic을 나타내는 숫자들(? 주제(homology/cohomology)관련은 확실하나 설명이 너무 까다로워지거나 길어질까봐 그런지, 정확한 명칭이+관계가 나오지 않음)
(각 $\displaystyle n$ 차원 공간의 특성을 묘사하는 $\displaystyle n+1$ 개의 수들)
(정수들의 tuple같이 생긴??)

은 앞뒤로 항상 대칭성,symmetry을 띤다.
이것은 cohomology의 신비한 성질을 보여준다고.
현재의 명칭은 푸앵카레_쌍대성,Poincare_duality? (저기 표현은 "푸앙카레 쌍대 정리 Poincaré duality")
{
Poincaré duality
Poincaré duality
쌍대성,duality
}

(저 수들이 뭔지 이제 설명하네...)

Poincare는 한 $\displaystyle n$ 차원 공간 $\displaystyle X$ 마다, 이를 묘사,depiction{ similar: 기술,description 서술 }하는 $\displaystyle n+1$ 개의 수
$\displaystyle H^0(X),\,H^1(X),\,\cdots,\,H^n(X)$ 가 있음을 발견했다.
이는 마치 각 공간의 특징을 설명하는 바코드,barcode같은 것이다.

$\displaystyle n$ 차원 공간 $\displaystyle X$ 의 코호몰로지,cohomology란, 이 공간의 특성을 묘사하는 $\displaystyle n+1$ 개의 수 $\displaystyle H^0(X),\,H^1(X),\,\cdots,\,H^n(X)$ 를 뜻한다.

ex.
곡면,surface는 2차원 공간이므로 세 코호몰로지 $\displaystyle H^0,H^1,H^2$ 를 가진다.
$\displaystyle H^0,H^2$ 은 항상 1이라 큰 의미가 없고
$\displaystyle H^1$ 이 항상 짝수,even_number $\displaystyle 2g$ 가 되는데, 여기서 $\displaystyle g$ 는 종수,genus { genus genus genus } 라고 부르던,
곡면 $\displaystyle X$ 에 뚫린 "구멍의 개수"와 일치한다.

1920년대 중반 Emmy_Noether는 코호몰로지 $\displaystyle H(X)$ 가 사실 수들이 아닌 아벨_군,abelian_group(=가환군,commutative_group)으로 이해되어야 한다는 것을 발견함.
Poincare가 발견한 수들은 이 아벨군들의 차원,rank(랭크,rank ..?)를 뜻했다.

1930년 de_Rham은 미적분,calculus에서 이미 중요하게 쓰이던 개념인 미분형식,differential_form이 코호몰로지적 해석,interpretation을 지님을 발견했다. 즉 코호몰로지를 써서 기존 이론을 새롭게 해석하는 것이 가능해졌다.

1930년대 중반 "위트니Whitney와 체흐Čech"에 의해 코호몰지에 곱셈,multiplication 구조,structure가 존재함이 발견됨.
이건 코호몰로지가 아벨군보다 더 나아가 환,ring으로 해석되어야 한다는 걸 의미했다.

1940년대 중반 "아일렌버그Eilenberg와 스틴로드Steenrod"가 알려진 많은 코호몰로지들을 통합하면서 코호몰로지 이론을 거의 완성시키는 것처럼 보였다.

그러나 "르레이Leray"가 1940년부터 5년간 감옥에서 코호몰로지가

• 공간만의 성질을 묘사하는 것이 아니라
  
• 공간과 그 공간에 살고 있는 쉬프sheaf // pagename? sheaf // 의 성질도 묘사하는 것이라고 생각했다.
  

임의의 $\displaystyle n$ 차원 공간 $\displaystyle X$ 와 그에 달린 임의의 sheaf $\displaystyle F$ 에 대해서도 똑같이 코호몰로지 $\displaystyle H(X,F)$ 를 정의할 수 있다는 것이다.
이것은 (Eilenberg/Steenrod 등?) 기존의 이해 방법을 완전히 바꾸었다.

1960년대 Alexander_Grothendieck은