가설,hypothesis

[edit]

1. Sub

[edit]

1.1. distributional hypothesis

distributional_hypothesis =,distributional_hypothesis . distributional_hypothesis
{
distributional hypothesis

분포성 가설?
분포가설 ?


[edit]

1.2. null_hypothesis

귀무가설 or 영가설

H0


observation (관찰,관측)
{

Sub:
관측값,observed_value - writing
{

WpKo:관측값 = https://ko.wikipedia.org/wiki/관측값
{
syn. 측정값 측정치 ?


}

... Google:관측값 Naver:관측값
} // 관측값

관측오차,observational_error =관측오차,observational_error =,observational_error . observational_error (writing)
{
// 관측오차 via kms ... https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=observation



}

}

WpEn:Null_hypothesis = https://en.wikipedia.org/wiki/Null_hypothesis
{
영가설 H0:
분석대상인 두 세트(자료나 변수)가 서로 관계,relationship 없다는 주장,claim.
두 세트 사이에 서로 관계가 존재하지 않는다는 주장.

대립가설 H1 or H,a:
두 세트간에 관계가 있다는 주장.

statistical_significance test에서 시험되는 진술,statement은 귀무가설=영가설이다.
significance test는 null hypothesis를 반박하기 위해, 그것을 반박하는 증거,evidence의 강도,strength를 측정(assess)하기 위해 디자인 된 것이다.
대체적으로 null hypothesis는 '효과가 없다' 혹은 '차이가 없다'는 진술,statement이다.

Statistical significance test: (아주 대충):
Take a random sample from the population.
모집단,population에서 무작위 표본,sample을 취한다.
If the sample data are consistent with the null hypothesis, then do not reject the null hypothesis;
표본자료가 영가설에 일치하면/일관되면, 영가설을 기각하지 말라.
if the sample data are inconsistent with the null hypothesis, then reject the null hypothesis and conclude that the alternative hypothesis is true.
표본자료가 영가설과 불일치하면/비일관되면, 영가설을 기각하고 대립가설이 참인 것으로 결정하라(결론을 내려라).

단어/표현 (Terminology)

simple_hypothesis =,simple_hypothesis . simple_hypothesis // WtEn:simple_hypothesis ? WpSp:simple_hypothesis ? WpEn:simple_hypothesis ?
단순가설 ?
Any hypothesis which specifies the population distribution completely. For such a hypothesis the sampling distribution of any statistic is a function of the sample size alone.
완벽한 설명?

composite_hypothesis =,composite_hypothesis . composite_hypothesis // WtEn:composite_hypothesis ? WpSp:composite_hypothesis ? WpEn:composite_hypothesis ?
복합가설 ?
Any hypothesis which does not specify the population distribution completely. Example: A hypothesis specifying a normal distribution with a specified mean and an unspecified variance.
완벽하지 못한 (뭔가가 빠진) 설명? 틀린 설명이 아니고?

parameter_value (parameter 값,value) 에 따라,

exact_hypothesis = point_hypothesis
Any hypothesis that specifies an exact parameter value. Example: μ = 100.
점,point
WtEn:exact_hypothesis ? WpSp:exact_hypothesis ? WpEn:exact_hypothesis ?
WtEn:point_hypothesis ? WpSp:point_hypothesis ? WpEn:point_hypothesis ?

inexact_hypothesis
Those specifying a parameter range or interval. Examples: μ ≤ 100; 95 ≤ μ ≤ 105.
범위,range 구간,interval
WtEn:inexact_hypothesis ? WpSp:inexact_hypothesis ? WpEn:inexact_hypothesis ?


one-tailed_hypothesis (tested using a one-sided test) ( see WpKo:단측-양측_검정 WpEn:One-_and_two-tailed_tests )
WtEn:one-tailed_hypothesis ? WpSp:one-tailed_hypothesis ? WpEn:one-tailed_hypothesis ?

}




}


opp. alternative_hypothesis //바로아래

[edit]

1.3. alternative hypothesis

[edit]

1.4. 가설검정 hypotehsis test

[edit]

2. rel. 각종오류

오류,error 는 가설과 어떤 관련이 있는지 tbw

1종오류 and 2종오류
{
curr. VG:오류,error
}

1종오류 type_I_error type_1_error ?
{
가설이 참이어도 기각하는 경우(귀무가설을 기각하는 경우) (wpko)
}

2종오류 type_II_error type_2_error ?
{
가설이 거짓이어도 기각하지 않는 경우(귀무가설은 기각하지 않는 경우) (wpko)
}

[edit]

3. ...

[edit]

4. ...

[edit]

5. ...

[edit]

6. ...

[edit]

7. 수학의 가설들

이건 추측,conjecure과 유사한데... 정확한 차이는?

아무튼 증명,proof되면 정리,theorem가 됨.

[edit]

7.1. 리만 가설

Riemann hypothesis

리만_제타함수,Riemann_zeta_function의 영점,zeros들이 ...라는
추측,conjecture / 가설,hypothesis 인데 소수,prime_number의 분포,distribution와 관련있으리라는 .... tbw



Ndict:리만 가설
Ggl:리만 가설
"리만 가설"


리만가설 Riemann hypothesis
https://youtu.be/Xslgz1nNcTQ?si=DcArQFFnuGa8rVu9&t=142
2:22
Gauss는 15살 쯤,
$\displaystyle x>1$ 에 대해 소수정리,prime_number_theorem,PNT WtEn:prime_number_theorem
$\displaystyle \pi(x)\sim\frac{x}{\ln x} \Leftrightarrow \lim_{x\to\infty}\pi(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\ln x}$

($\pi(x)$ 는 $\displaystyle x$ 이하의 소수,prime_number의 개수 .... prime_counting_function Ggl:prime_counting_function Ggl:소수계량함수 Ndict:소수계량함수소수의 첫글자 p에 해당하는 그리스문자 기호를 씀 - hence the name.
예를 들어
$\displaystyle \bullet\;\pi(5)=3$ (2,3,5 세 개)
$\displaystyle \bullet\;\pi(10)=4$ (2,3,5,7 네 개)
)

에 대해 생각해냈으나 증명을 하지는 못했다.
근데 $\displaystyle \pi(x)$ 를 구체적으로 계산/연산할 수가 없었다. 해낼 수 있도록 한 사람이 Gauss의 제자 Bernhard_Riemann.

4:54
2. 리만의 소수정리
리만은 $\displaystyle x\ge 2657$ 에 대해,
$\displaystyle \left| \pi(x)-\operatorname{li}(x)\right| < \frac{\sqrt{x}\ln x}{8\pi}$
(여기서 li(x)는 로그적분함수
$\displaystyle \operatorname{li}(x)=\int_0^x \frac1{\ln t}\operatorname{d}t$
)

이건 완전히 소수의 규칙성을 밝혀낸 것이 아니고 '특별한 가정,assumption' 하에서 밝혀낸 것이다.
그 특별한 가정이 바로 리만가설이다.

6:40
3. 리만가설이란
리만_제타함수,Riemann_zeta_function( curr VG:리만_제타함수,Riemann_zeta_function )
(여기선 미지수를 보통 x대신 복소수이므로? s로 쓴다)

칠판 글씨가 $\displaystyle J? \mathcal{J}? \mathcal{T}? \mathscr{I}?$ 암튼 $\displaystyle \zeta$ 로 하겠음

리만 가설은,
$\displaystyle \zeta(s)$ 의 자명하지 않은 영점,zero들의 실수부분(실수부,real_part?)은 1/2이다

우선 리만제타함수는 뭐냐?
$\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}\qquad(\operatorname{Re}(s)>1)$

즉 실수부가 1보다 클 때만 정의.

그럼 실수부가 그 외의 경우일 땐?

실수부가 0과 1 사이일 경우,
$\displaystyle 0<\operatorname{Re}(s)<1\;\Rightarrow\;\zeta(s)=2^s \pi^{s-1} \sin\left( \frac{\pi s}{2} \right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)$
라고 하는 함수방정식을 만족하게 된다.
감마함수,gamma_function는 설명하지 않고 넘어가겠다.

실수부가 0보다 작은 경우, 그냥 절대값,absolute_value을 취해주면 된다.
$\displaystyle \operatorname{Re}(s)<0 \;\Rightarrow\; |\cdot|$
간략하게 얘기하자면, 리만제타함수를 적분 형태로도 표현할 수 있는데, 피적분함수에 절대값을 취해준다 하더라도 적분이 가능하다.
결론적으로 복소평면 전체에서, 실수부 정확하게 1인 (특이점,인) 경우만 제외하면 복소평면에서 정의가 가능하다.

그럼 '자명하지 않은 영점,zero들'은 무엇인가?

영점,zero이란 간단하게 말하면 함수값이 0이 되게 하는 미지수 값이다.
예를 들어 함수 $\displaystyle 2x-1$ 의 영점은 $\displaystyle 1/2$ 이다.

영점을 두 가지 category로 분류하자면
  • 자명한 영점 trivial zeros
    은 s가
    $\displaystyle s=-2,-4,-6,\ldots$ 같이 음의 정수일 때 나타난다.(존재한다)
  • 자명하지 않은 영점 nontrivial zeros
    은 $\displaystyle 0<\operatorname{Re}(s)<1$
    일 때 존재하며 그 개수가 무수히 많다.
    그리고 $\displaystyle \operatorname{Re}(s)>1$ 일 때는 영점이 존재하지 않으며, Euler_product_formula Ggl:Euler product formula 로 증명이 가능한데, 여기선 스킵하겠다.

(12:40의 그림) 복소평면에서
https://i.imgur.com/moSj0kwm.png

$\displaystyle 0\lt x\lt 1$ 인 저 strip에서, 특히 $\displaystyle x=\frac12$ 인 임계선(critical line)에서'만' (자명하지 않은) 영점들이 존재한다 - 는 것이 바로 리만 가설.

그렇다는 것이 증명되면 소수정리,prime_number_theorem,PNT가 증명되고,
소수의 규칙성regularity이란 것에 대해 실마리를 얻을 수 있게 된다.

14:07
4. 셀베르그와 일반화 리만가설 // Ggl:셀베르그 (Atle Selberg 노르웨이인) Ggl:일반화 리만가설
Atle_Selberg를 필두로 하여 제타함수들의 공통 특징들을 모아보자 하는 노력이 있고
그래서 Selberg class = Selberg_class Ggl:Selberg class 라는 것이 있다
지금까지 어떤 것이 밝혀졌냐면,
이렇게 공리화,axiomatization시킨 제타함수,zeta_function들은 모두 다 리만_가설을 만족한다고 한다.

(끝부분)
정수론은 물론이고, 대수적, 해석적, 기하적 성질을 두루 아우르고 있기 때문에 어려운 문제.
Hilbert문제와 밀레니엄 문제에 동시에 listed.

[edit]

7.2. 연속체 가설 continuum hypothesis

$\displaystyle |\mathbb{N}| < |X| < |2^{\mathbb{N}}|$
을 만족하는 집합 $\displaystyle X$ 는 존재하지 않는다.


[edit]

7.3. (수학의가설들여기에추가)

[edit]

7.4. (수학의가설들여기에추가)

[edit]

7.5. (수학의가설들여기에추가)

[edit]

7.6. (수학의가설들여기에추가)


[edit]

8. etc

rel.
statistical_significance - 페이지 필요?? TBD.
{
통계적유의성



Up: 유의성,significance?
}
유의성,significance - writing .... 근데 저게 통계적유의성 얘기만 하고 있어서..
{
... Google:유의성,significance Naver:유의성,significance

WtEn:significance ?
WpSp:significance ? ggggggggg
WpEn:significance ? hhhhhhhhhh
}



가설,hypothesis Modified on 6:47 am, April 5, 2024.
🎲 Random