Riemann hypothesis
에 대해 생각해냈으나 증명을 하지는 못했다.
근데
$\displaystyle \pi(x)$ 를 구체적으로 계산/연산할 수가 없었다. 해낼 수 있도록 한 사람이 Gauss의 제자
Bernhard_Riemann.
4:54
2. 리만의 소수정리
리만은
$\displaystyle x\ge 2657$ 에 대해,
$\displaystyle \left| \pi(x)-\operatorname{li}(x)\right| < \frac{\sqrt{x}\ln x}{8\pi}$
(여기서 li(x)는
로그적분함수
$\displaystyle \operatorname{li}(x)=\int_0^x \frac1{\ln t}\operatorname{d}t$
)
이건 완전히 소수의 규칙성을 밝혀낸 것이 아니고 '특별한
가정,assumption' 하에서 밝혀낸 것이다.
그 특별한 가정이 바로 리만가설이다.
칠판 글씨가 $\displaystyle J? \mathcal{J}? \mathcal{T}? \mathscr{I}?$ 암튼 $\displaystyle \zeta$ 로 하겠음
우선 리만제타함수는 뭐냐?
$\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}\qquad(\operatorname{Re}(s)>1)$
즉 실수부가 1보다 클 때만 정의.
그럼 실수부가 그 외의 경우일 땐?
실수부가 0과 1 사이일 경우,
$\displaystyle 0<\operatorname{Re}(s)<1\;\Rightarrow\;\zeta(s)=2^s \pi^{s-1} \sin\left( \frac{\pi s}{2} \right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)$
라고 하는 함수방정식을 만족하게 된다.
감마함수,gamma_function는 설명하지 않고 넘어가겠다.
실수부가 0보다 작은 경우, 그냥
절대값,absolute_value을 취해주면 된다.
$\displaystyle \operatorname{Re}(s)<0 \;\Rightarrow\; |\cdot|$
간략하게 얘기하자면, 리만제타함수를 적분 형태로도 표현할 수 있는데, 피적분함수에 절대값을 취해준다 하더라도 적분이 가능하다.
결론적으로 복소평면 전체에서, 실수부 정확하게 1인 (
특이점,인) 경우만 제외하면 복소평면에서 정의가 가능하다.
영점,zero이란 간단하게 말하면 함수값이 0이 되게 하는 미지수 값이다.
예를 들어 함수
$\displaystyle 2x-1$ 의 영점은
$\displaystyle 1/2$ 이다.
영점을 두 가지 category로 분류하자면
- 자명한 영점 trivial zeros
은 s가
$\displaystyle s=-2,-4,-6,\ldots$ 같이 음의 정수일 때 나타난다.(존재한다)
- 자명하지 않은 영점 nontrivial zeros
은 $\displaystyle 0<\operatorname{Re}(s)<1$
일 때 존재하며 그 개수가 무수히 많다.
그리고 $\displaystyle \operatorname{Re}(s)>1$ 일 때는 영점이 존재하지 않으며, Euler_product_formula Euler product formula 로 증명이 가능한데, 여기선 스킵하겠다.
(12:40의 그림) 복소평면에서
$\displaystyle 0\lt x\lt 1$ 인 저 strip에서, 특히
$\displaystyle x=\frac12$ 인 임계선(critical line)에서'만' (자명하지 않은) 영점들이 존재한다 - 는 것이 바로 리만 가설.
(끝부분)
정수론은 물론이고, 대수적, 해석적, 기하적 성질을 두루 아우르고 있기 때문에 어려운 문제.
Hilbert문제와 밀레니엄 문제에 동시에 listed.