$\displaystyle m\times n$ 행렬은
$\displaystyle m$ rows ......
$\displaystyle m$ 개의
행,rows들
과 또는
$\displaystyle n$ columns ....
$\displaystyle n$ 개의
열,columns들
로 이뤄짐.
원래 벡터를
$\displaystyle \hat{\rm i},\, \hat{\rm j},\, \hat{\rm k}$ 로 표현되는
$\displaystyle \vec{A}=A_x\hat{\rm i} + A_{y}\hat{\rm j} + A_{z}\hat{\rm k}$
라 하면 새로운
좌표계,coordinate_system에서는
$\displaystyle \hat{\rm i'},\,\hat{\rm j'},\,\hat{\rm k'}$ 로
$\displaystyle \vec{A}=A_{x'}\hat{\rm i'} + A_{y'}\hat{\rm j'} + A_{z'}\hat{\rm k'}$
이렇게 표현될 것이다. 이 중 첫번째
$\displaystyle A_{x'}$ 를 기하적으로 코사인 및
사영,projection을 생각하면 다음과 같이
내적,inner_product으로 나타낼 수 있다.
$\displaystyle A_{x'}=A\cdot\hat{\rm i'}=(A_x)\hat{\rm i}\cdot\hat{\rm i'}+(A_y)\hat{\rm j}\cdot\hat{\rm i'}+(A_z)\hat{\rm k}\cdot\hat{\rm i'}$
다시 쓰면, 그리고
$\displaystyle A_{y'},\,A_{z'}$ 도 적으면
$\displaystyle A_{x'}=(\hat{\rm i}\cdot\hat{\rm i'})A_x + (\hat{\rm j}\cdot\hat{\rm i'})A_y + (\hat{\rm k}\cdot\hat{\rm i'})A_z$
$\displaystyle A_{y'}=(\hat{\rm i}\cdot\hat{\rm j'})A_x + (\hat{\rm j}\cdot\hat{\rm j'})A_y + (\hat{\rm k}\cdot\hat{\rm j'})A_z$
$\displaystyle A_{z'}=(\hat{\rm i}\cdot\hat{\rm k'})A_x + (\hat{\rm j}\cdot\hat{\rm k'})A_y + (\hat{\rm k}\cdot\hat{\rm k'})A_z$
이걸
행렬,matrix로 나타내면
$\displaystyle \begin{bmatrix}A_{x'}\\A_{y'}\\A_{z'}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\hat{\rm i}\cdot\hat{\rm i'}&\hat{\rm j}\cdot\hat{\rm i'}&\hat{\rm k}\cdot\hat{\rm i'}\\\hat{\rm i}\cdot\hat{\rm j'}&\hat{\rm j}\cdot\hat{\rm j'}&\hat{\rm k}\cdot\hat{\rm j'}\\\hat{\rm i}\cdot\hat{\rm k'}&\hat{\rm j}\cdot\hat{\rm k'}&\hat{\rm k}\cdot\hat{\rm k'}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{bmatrix}$
예제로 z축은 그대로 두고 x, y축을 θ만큼 회전했을 때의
변환행렬을 알아봄. 이때는
$\displaystyle \begin{bmatrix}\cos\theta&\cos\left(90{}^{\circ}-\theta\right)&0\\\cos(90{}^{\circ}+\theta)&\cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix}$
즉
$\displaystyle \begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta&0\\-\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix}$
이 된다.
}
}
diagonal_matrix
banded_matrix
triangular matrix
upper triangular matrix
$\displaystyle U=\begin{bmatrix}a&b&c\\0&d&e\\0&0&f\end{bmatrix}$
lower triangular matrix
$\displaystyle L=\begin{bmatrix}a&0&0\\b&c&0\\d&e&f\end{bmatrix}$
dense_matrix
sparse_matrix
번역tbd. 이 둘의 구분은 특히
자료구조,data_structure에서 중요
payoff_matrix =,payoff_matrix =,payoff_matrix . payoff_matrix
{
payoff matrix
1.1. 행렬곱셈 matrix multiplication ¶
1.2. 합성곱행렬 convolution matrix ¶
대각원소를 중심으로 위 아래가 같은 행렬
복소행렬일 경우엔 Hermit행렬이라 함 ...
에르미트 행렬
임의의 행렬 A가 있을때 다음은 모두 대칭행렬.
ATA
AAT
A+AT
대칭행렬
}
교대행렬
교대행렬
교대행렬 =교대행렬,
{
대각원소를 기준으로 위 아래가 서로 부호가 반대이며, 대각원소가 모두 0인 행렬.
$\displaystyle A^T=-A$
}
교대행렬
AT=A-1
AAT=ATA=I
복소행렬일 경우 유니터리 행렬이라고 부름.
예
$\displaystyle \begin{pmatrix}\cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x \end{pmatrix}$
}
행렬식 =행렬식,
{
$\displaystyle \det A=|A|$
라플라스전개
}
역행렬 =역행렬,
{
기존의 행렬에 곱해서
단위행렬이 나오게 하는 행렬
행렬의 곱셈의
역원임
}
1.10. transpose 전치 ¶
전치,transpose
행과 열을 바꿈
AT
성질:
(AB)T=BTAT
A가 정사각행렬일 때,
det(A)=det(AT)
AKA
수반행렬
trace
대각원소들의 합
tr
A
성질:
AB≠BA이나, trAB=trBA 는 성립한다.
tr(kA)=k tr(A)
tr(AT)=tr A
tr(A+B)=tr A + $\displaystyle \tr B$
랭크,rank =랭크,rank =,rank . 랭크 rank (rank of linear algebra.) /// or matrix_rank ? ... 행렬의 rank만 별도page로 독립해야 한다면.
{
행이나 열이 몇개나 독립인가
$\displaystyle \operatorname{rank} A=\operatorname{rank} A^T$
1.15. eigenvector ¶
=,eigenvector .
고유벡터,eigenvector
{
어떤 정사각 행렬에 0이 아닌 적당한 열벡터를 곱하면 결과가 그 열벡터의 스칼라 곱과 같아질 때, 해당 열벡터를 고유벡터라 함.
$\displaystyle AX=\lambda X$
}
1.16. matrix diagonalization 행렬의 대각화 ¶
정사각행렬 A가
대각행렬과
닮은행렬일 때, 대각화 가능
diagonalizable하다고 한다.
diagonalization 대각화
esp.
matrix diagonalization 행렬의 대각화
adj.
diagonalizable 대각화 가능한
}
1.20. binary matrix ¶
binary_matrix
{
binary matrix
이진행렬
"논리 행렬(logical matrix), 이진 행렬(binary matrix), 관계 행렬(relation matrix), 부울 행렬(Boolean matrix) 또는 (0,1) 행렬
은 부울 도메인(Boolean_domain) B = {0, 1}의 항목이있는 행렬이다.
이러한 행렬은 한 쌍의 유한 집합 사이의 이진 관계(
이항관계,binary_relation)를 나타 내기 위해 사용될 수 있다."(wk)
// 논리행렬(logical_matrix),이진행렬(binary_matrix),관계행렬(relation_matrix),부울행렬(Boolean_matrix)
// logical_matrix binary_matrix relation_matrix Boolean_matrix
// =,logical_matrix =,binary_matrix =,relation_matrix =,Boolean_matrix .