Sub:
{
$\displaystyle (\operatorname{csch}x)'$
$\displaystyle =\left(\frac1{\sinh x}\right)'$
$\displaystyle =\frac{-\cosh x}{\sinh^2 x}$
$\displaystyle =\frac{-1}{\sinh x}\cdot\frac{\cosh x}{\sinh x}$
$\displaystyle =-\operatorname{csch}x\operatorname{coth}x$
}
sech_x_미분_증명 $\displaystyle ({\rm sech}x)'=-\operatorname{sech}x \operatorname{tanh}x$
{
$\displaystyle (\operatorname{sech}x)'$
$\displaystyle =\left(\frac1{\operatorname{cosh}x}\right)'$
$\displaystyle =\frac{-\sinh x}{\cosh^2 x}$
$\displaystyle =\frac{-1}{\cosh x}\cdot \frac{\sinh x}{\cosh x}$
$\displaystyle =-\operatorname{sech}x \operatorname{tanh}x$
}
루트엑스적분법,integral_root_x_dx
arcsinh_증명 $\displaystyle \sinh^{-1}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$
arccosh_증명 $\displaystyle \cosh^{-1}x=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$
arctanh_증명 $\displaystyle \tanh^{-1}x=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$
이것은
대우,contraposition를 증명하면 된다.
즉
$\displaystyle \sqrt{r}$ 이
유리수,rational_number라면
$\displaystyle r$ 이 유리수라는 것을 증명하면 된다.
$\displaystyle \sqrt r$ 을 유리수라고 가정하면 다음과 같은
정수,integer $\displaystyle m,n$ 이 존재한다.
$\displaystyle \sqrt{r}=\frac{m}{n}$
양쪽을 제곱하면
$\displaystyle r=\frac{m^2}{n^2}$
$\displaystyle m^2,n^2$ 둘 다 정수이므로,
$\displaystyle r$ 은 유리수이다.
(mcs.pdf p13)
}