$\displaystyle c\in\mathbb{R},\,\exists\lim_{x\to a}f(x),\,\exists\lim_{x\to a}g(x)$
이면
$\displaystyle \lim_{x\to a}\left(f(x)\pm g(x)\right)=\lim_{x\to a}f(x)\pm\lim_{x\to a}g(x)$
의 증명.
$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L,\,\lim_{x\to a}g(x)=M$ 이라 하면 문제가
$\displaystyle \lim_{x\to a}\left(f(x)\pm g(x)\right)=L\pm M$ 로 된다.
일단 $\displaystyle \pm$ 말고 $\displaystyle +$ 문제를 다룸
$\displaystyle \forall\epsilon>0,\,\exists\delta_1>0$ such that $\displaystyle 0<|x-a|<\delta_1\,\Rightarrow\,|f(x)-L|<\frac{\epsilon}2$
$\displaystyle \forall\epsilon>0,\,\exists\delta_2>0$ such that $\displaystyle 0<|x-a|<\delta_2\,\Rightarrow\,|g(x)-M|<\frac{\epsilon}2$
우리가 보이고 싶은 것 - We want to show:
$\displaystyle \forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0$ such that $\displaystyle 0<|x-a|<\delta \,\Rightarrow\, |(f+g)-(L+M)|<\epsilon$
그래서 $\displaystyle \delta$ 라는 것이 뭔지 보일 수 있으면 된다.
아이디어는 두 델타 중 minimum을 취할 수 있다는 것.
주어진 $\displaystyle \epsilon>0$ 에 대하여, $\displaystyle \delta=\text{min}\left\{ \delta_1,\delta_2\right\}$ 라 하면,
$\displaystyle 0<|x-a|<\delta \,\Rightarrow\, |f(x)+g(x)-(L+M)|=|(f(x)-L)+(g(x)-M)|$
여기서 잠깐 보조정리.
$\displaystyle |a+b|\le|a|+|b|$
∵
$\displaystyle (|a|+|b|)^2 - |a+b|^2$
$\displaystyle =|a|^2+2|ab|+|b|^2-(a^2+2ab+b^2)$
$\displaystyle =\cancel{|a|^2}+2|ab|+\cancel{|b|^2}-(\cancel{a^2}+2ab+\cancel{b^2})$
$\displaystyle =2(|ab|-ab)\ge 0$
(보조정리 끝)
See also 삼각부등식,triangle_inequality
위에 하던거 계속하면
$\displaystyle 0<|x-a|<\delta$
$\displaystyle \Rightarrow\, |f(x)+g(x)-(L+M)|$
$\displaystyle =|(f(x)-L)+(g(x)-M)|$
$\displaystyle \le |f(x)-L| + |g(x)-M|$
여기에 위의
$\displaystyle |f(x)-L|\le \frac{\epsilon}{2}$ 그리고
$\displaystyle |g(x)-M|<\frac{\epsilon}{2}$ 를 적용하면
$\displaystyle <\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$